令 (X₁, X₂, X₃, X₄, X₅) 為由常態母體 N(μ, σ²) 抽出的一組隨機樣本，考慮 4 個 μ 的估計量：T₁ = (2X₁ + 4X₂ + 2X₃ + X₄ + X₅) / 10，T₂ = (2X₁ + 5X₂ + 2X₃ + X₄ + X₅) / 15，T₃ = (X₁ + X₂ + X₃ + X₄ + X₅) / 5，T₄ = (3X₁ + 2X₂ + 2X₃ + 3X₄ + X₅) / 11。試問何者為 μ 的不偏估計量且變異數最小？

正確答案為 C。$T_3$ 即樣本平均 $\bar{X}$,係數和=1 為不偏,$\text{Var}(T_3)=\sigma^2/5=0.2\sigma^2$ 最小(柯西不等式下等權重最佳)。正確答案。

初考-統計統計學大意113 年第 12 題單選題

令 $(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5})$ 為由常態母體 $N (μ, σ^{2})$ 抽出的一組隨機樣本，考慮 4 個 $μ$ 的估計量： $T_{1} = (2 X_{1} + 4 X_{2} + 2 X_{3} + X_{4} + X_{5}) /10$ ， $T_{2} = (2 X_{1} + 5 X_{2} + 2 X_{3} + X_{4} + X_{5}) /15$ ， $T_{3} = (X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + X_{5}) /5$ ， $T_{4} = (3 X_{1} + 2 X_{2} + 2 X_{3} + 3 X_{4} + X_{5}) /11$ 。試問何者為 $μ$ 的不偏估計量且變異數最小？

T_{1}

T_{2}

T_{3}

正確答案

T_{4}

答案與詳解

正確答案

不偏估計量需係數和為1,變異數最小者為等權重平均,即樣本平均

T_{3}

。

$T_{3}$ 即樣本平均 $\overset{ˉ}{X}$ ,係數和=1 為不偏, $Var (T_{3}) = σ^{2} /5 = 0.2 σ^{2}$ 最小(柯西不等式下等權重最佳)。正確答案。

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