在線性模式中，假設 yi=μ+ei，i=1, 2, 3,…, n，其中 ei 為兩兩獨立、E(ei)=0 與 Var(ei)=σ²的隨機變數，下列敘述何者錯誤？

正確答案為 C。此為應選的錯誤敘述。$\mu$ 的最小平方估計量為 $\hat{\mu}=\bar{y}$，其變異數應為 $\mathrm{Var}[\hat{\mu}]=\mathrm{Var}\left[\frac{1}{n}\sum y_i\right]=\frac{1}{n^2}\sum\mathrm{Var}[y_i]=\frac{n\sigma^2}{n^2}=\frac{\sigma^2}{n}$。本選項將其誤述為 $\sigma^2$（即誤把估計量的變異數當成單一觀測值的變異數），漏除了除以 $n$ 的縮減效果，故為錯誤。

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地方特考統計學大意108 年第 18 題單選題

在線性模式中，假設 $y_{i} = μ + e_{i}$ ， $i = 1, 2, 3, \dots, n$ ，其中 $e_{i}$ 為兩兩獨立、 $E (e_{i}) = 0$ 與 $Var (e_{i}) = σ^{2}$ 的隨機變數，下列敘述何者錯誤？

E [y_{i}] = μ

，

Var [y_{i}] = σ^{2}

B共變數

Cov [y_{i}, y_{j}] = σ^{2}

\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum y_{i}

是

μ

的最小平方估計量正確答案

D以上皆非

答案與詳解

正確答案

在

y_{i} = μ + e_{i}

的單參數線性模式中，

μ

的最小平方估計量恰為樣本平均數

\overset{y}{ˉ}

，其變異數為

σ^{2} / n

（非

σ^{2}

）。選項C因把估計量的變異數誤寫或誤述（如寫成

σ^{2}

而非

σ^{2} / n

）而為錯誤敘述。

為什麼答案是 C

此為應選的錯誤敘述。 $μ$ 的最小平方估計量為 $\overset{μ}{^} = \overset{y}{ˉ}$ ，其變異數應為 $Var [\overset{μ}{^}] = Var [\frac{1}{n} \sum y_{i}] = \frac{1}{n ^{2}} \sum Var [y_{i}] = \frac{n σ ^{2}}{n ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{n}$ 。本選項將其誤述為 $σ^{2}$ （即誤把估計量的變異數當成單一觀測值的變異數），漏除了除以 $n$ 的縮減效果，故為錯誤。