在線性模式中，假設 yi=μ+ei，i=1, 2, 3,…, n，其中 ei 為兩兩獨立、E(ei)=0 與 Var(ei)=σ²的隨機變數，下列敘述何者錯誤？ (A) E[yi]=μ，Var[yi]=σ² (B) 共變數 Cov[yi,yj]=σ² (C) ȳ=(1/n)Σyi 是 μ 的最小平方估計量 (D) 以上皆非

正確答案為 C。在 $y_i=\mu+e_i$ 的單參數線性模式中，$\mu$ 的最小平方估計量恰為樣本平均數 $\bar{y}$，其變異數為 $\sigma^2/n$（非 $\sigma^2$）。選項C因把估計量的變異數誤寫或誤述（如寫成 $\sigma^2$ 而非 $\sigma^2/n$）而為錯誤敘述。 (A) 【觀測值的期望值與變異數】$E[y_i]=E[\mu+e_i]=\mu$，$\mathrm{Var}[y_i]=\mathrm{Var}[e_i]=\sigma^2$，符合單一觀測值的期望值與變異數性質，敘述正確。 (B) 【獨立與共變數】因 $e_i$ 兩兩獨立，當 $i\neq j$ 時 $\mathrm{Cov}[y_i,y_j]=\mathrm{Cov}[e_i,e_j]=0$，故不同觀測值彼此不相關，敘述正確。

五等-統計統計學大意108 年第 18 題單選題考點：觀測值的期望值與變異數考點：獨立與共變數

在線性模式中，假設 $y_{i} = μ + e_{i}$ ， $i = 1, 2, 3, \dots, n$ ，其中 $e_{i}$ 為兩兩獨立、 $E (e_{i}) = 0$ 與 $Var (e_{i}) = σ^{2}$ 的隨機變數，下列敘述何者錯誤？

E [y_{i}] = μ

，

Var [y_{i}] = σ^{2}

B共變數

Cov [y_{i}, y_{j}] = σ^{2}

\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum y_{i}

是

μ

的最小平方估計量正確答案

D以上皆非

答案與詳解

正確答案

在

y_{i} = μ + e_{i}

的單參數線性模式中，

μ

的最小平方估計量恰為樣本平均數

\overset{y}{ˉ}

，其變異數為

σ^{2} / n

（非

σ^{2}

）。選項C因把估計量的變異數誤寫或誤述（如寫成

σ^{2}

而非

σ^{2} / n

）而為錯誤敘述。

逐選項解析

AE[yi]=μ，Var[yi]=σ²觀測值的期望值與變異數✕ 錯誤

$E[y_i]=E[\mu+e_i]=\mu$，$\mathrm{Var}[y_i]=\mathrm{Var}[e_i]=\sigma^2$，符合單一觀測值的期望值與變異數性質，敘述正確。

B共變數 Cov[yi,yj]=σ²獨立與共變數✕ 錯誤

因 $e_i$ 兩兩獨立，當 $i\neq j$ 時 $\mathrm{Cov}[y_i,y_j]=\mathrm{Cov}[e_i,e_j]=0$，故不同觀測值彼此不相關，敘述正確。

Cȳ=(1/n)Σyi 是 μ 的最小平方估計量✓ 正確

D以上皆非✕ 錯誤

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