114 年 · 數學（中區聯盟）

設 z 為複數，若 $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ ，求 $z^{2025} + \frac{1}{z…

求 $|2|x - 2| - 5| \leq 3$ 之正整數解有幾個？

設正整數 A、B、C 為偶數之機率分別為 $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，在 …

設 $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x …

設 $231 = 3 \times 7 \times 11$ ，請問 1 到 231 之自然數中，它是 3 之倍數，但不為 7、…

設曲線 $3e^{xy} - x = 0$ ，則此曲線在 $(3,0)$ 處的切線斜率為何？

求 $\lim_{n\to\infty}500\left(1+\frac{0.08}{n}\right)^{n}$ 之極限值？

求積分 $\int_{-3}^{4} \frac{1}{x^2 + 6x + 12} dx$ 之值為何？

若矩陣 $A$ 的轉置矩陣為 $A^T$ 滿足 $(4A^T)^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\…

平面上有二定點 $A(1,4)$ 與 $B(5,2)$ ，若點 $P$ 在直線 $L: x + y - 6 = 0$ 上移動，則…

求積分 $\int_{1}^{e} x^{2} \ln x dx$ 之值為何？

求函數 $y = \frac{2}{3}(x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}}$ 在 $x \in [1,2]$ 之…

求满足 $-3 \leq y \leq \sqrt{64 - x^2}$ 之區域面積？

若 A 為 $n \times n$ 階矩陣，則下面敘述中，哪一個與其他三個非等價？

試求矩陣 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 1 & 1…

下列哪一項為一階微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3y$ 的通解？

設 $1 < a < b, x > 0$ ，則下列敘述何者正確？

設 $x$ 、 $y$ 為實數，滿足 $4x^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ，則 $5x + 4y$ 的最大值最…

給定向量 $a = (1, -1, 2)$ 和 $b = (3, 4, -1)$ ，請選出錯誤的選項。

設多項式 $p(x) = \begin{vmatrix} 1 & x + 1 & 3x - 1 \\ x & x - 2 & x…

投擲一公正骰子兩次，X 表示 5 點出現的次數，已知 $X \sim B(2, \frac{1}{6})$ ，試選出正確的選項。

袋中有 5 顆球，其中 3 顆白球和 2 顆黑球。甲、乙兩人輪流從袋中取球，每次取一顆，取出後不放回。且每顆球被取出的機會均等。…

一顆排球自離地面 25 公尺處落下，每次反彈高度為落下高度的 $\frac{2}{3}$ ，則此排球到靜止時所經過的路程為多少公…

求 $\lim_{x\to2}\frac{(x-1)^{3}-1}{x-2}$ =?

已知函数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 在 $x = -1$ 處有極大值 2，在 $x = 3$ 處…

求 $\int_{0}^{4}(1-\sqrt{16-x^{2}})dx$ =？

已知 A、B 為兩獨立事件，$P(A')=\frac{1}{4}$ 且 $P(A'\cup B)=\frac{1}{2}$，則 …

設函數 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 的圖形與 x 軸、y 軸所圍成的封閉區域為 R，則區域 R 繞 y 軸旋轉所得的旋…

求 $\sqrt{(x+1)^{2}+(x^{2}-2)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(x^{2}+2)^{2}}$ 的最…

求 $\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{1+\sqrt{x+8}}-2}{x-1}$ =？

求 $z = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}-1}{2\…

影響信賴區間(Confidence Interval)寬度的因素不包括下列何者？

已知函數 f (x) = x + 2 和 g (x) = ax − 2。同時已知 g (f (x)) = f (g (x))，則…

一個等腰三角形的底邊長是10，兩腰長都是整數。已知它的面積也是整數，請問下列那一個長度符合此三角形的腰長？

設 x 、 y 是實數，則 x 2 + y 2 + ( x − 2 y + 6)2 的最小值為何？

已知多項式f(x)被(x−b)(x−c)、(x−a)(x−c)、(x−a)(x−b)除之的餘式分别為2x+1、−x+7、3x−5…

設 A(4,5)是 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x - 6 y + 4 = 0$ 的圖形的內部一點，則…

△ABC 中，若 $( a + b + c ) ( a + b - c ) = a b$ ，則∠C=？

設 $- 2 \leq x \leq 2 ~ , ~ f ( x ) = 4 ^ { x + 1 } - 2 ^ { x + 1…

${ \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 3 } { 2 ^ { 2 } } } + { \frac…

將12件不同的玩具分成5件、4件、3件之後，再隨意分給甲、乙、丙三人，則有幾種可能的分法？

多項式 $. \left( x ^ { 2 } + 3 x + 2 \right) ^ { 1 0 }$ 除以 $x ^ { 2…

下列敘述何者錯誤？

求 $\lim_{x\to\infty}\frac{4x-\sin(x^{2}+5x+7)}{x-\cos(2x-3)}$ 的值…

設 $f ( x ) = ( 4 x ^ { 2 } + 3 ) ( 5 x + 3 ) ^ { 2 } ~ , ~ \shar…

求 $\int _ { 0 } ^ { \pi } \cos ^ { 2 } ( x ) d x \ y \not \exist…

$1 - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { 1…

針對 $f ( x , y ) = x ^ { 4 } + y ^ { 4 } - 4 x y .$ +8，下列敘述何者錯誤？

令 $\begin{array} { r } { \mathsf { A } = \left[ \begin{array} { …

令 $\mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 1 …