國中教甄｜數學數學114 年第 28 題單選題

設函數 $y = 4 - x^{2}$ 的圖形與 x 軸、y 軸所圍成的封閉區域為 R，則區域 R 繞 y 軸旋轉所得的旋轉體體積是多少？

A$5\pi$

B$\frac{16}{3}\pi$正確答案

C$6\pi$

D$\frac{20}{3}\pi$

答案與詳解

正確答案

區域 R 為第一象限的四分之一圓（半徑 2），繞 y 軸旋轉形成半球體，體積為

\frac{16}{3} π

。

A$5\pi$✕ 錯誤

$5\pi$ 無對應的幾何意義，可能是計算過程中積分上下限或係數錯誤所致。

B$\frac{16}{3}\pi$✓ 正確

正確答案。以圓盤法積分 $V = \int_0^2 \pi(4-y^2)dy = \pi[4y - \frac{y^3}{3}]_0^2 = \pi(8 - \frac{8}{3}) = \frac{16}{3}\pi$，或直接用半球體積公式 $\frac{2}{3}\pi r^3$ 計算。

C$6\pi$✕ 錯誤

D$\frac{20}{3}\pi$✕ 易錯陷阱

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精選詳解

設函數 y=4−x2​ 的圖形與 x 軸、y 軸所圍成的封閉區域為 R，則區域 R 繞 y 軸旋轉所得的旋轉體體積是多少？