有關用來估計母體平均 μ 及母體比率 p 的樣本平均統計量 X̄ 以及樣本比率統計量 P̄ 的敘述，下列何者錯誤？（假定樣本數為 n。）

地方特考統計學大意107 年第 39 題單選題

有關用來估計母體平均 $μ$ 及母體比率 $p$ 的樣本平均統計量 $\overset{ˉ}{X}$ 以及樣本比率統計量 $\overset{ˉ}{P}$ 的敘述，下列何者錯誤？（假定樣本數為 $n$ 。）

\overset{ˉ}{X}

與

\overset{ˉ}{P}

皆為不偏估計式（unbiased estimator）

B當母體為有限母體（finite population），採簡單隨機抽樣且抽出樣本不置回，則

\overset{ˉ}{P}

的變異數為

\frac{p ( 1 - p )}{n}

正確答案

C當母體為無限母體（infinite population），採簡單隨機抽樣且抽出樣本不置回，則

\overset{ˉ}{X}

的變異數為

\frac{σ ^{2}}{n}

，其中

σ^{2}

為母體變異數

D如果母體數為

N

，採簡單隨機抽樣且抽出樣本不置回，則每組可能樣本被抽出的機率為

\frac{( N - n )! n !}{N !}

，其中

!

為階乘（factorial）符號

答案與詳解

正確答案

當母體為「有限母體」且採「抽出不置回」抽樣時，樣本統計量的變異數必須乘上「有限母體修正因子 (FPC)」，否則會高估變異數。

敘述錯誤（為本題正解）。在有限母體且抽出不置回的情況下，樣本之間不具獨立性，變異數必須乘上有限母體修正因子 (N-n)/(N-1)。正確公式應為 Var(P̄) = [p(1-p)/n] × [(N-n)/(N-1)]。

考點：不偏估計式考點：有限母體修正考點：無限母體抽樣考點：簡單隨機抽樣

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