考慮簡單線性迴歸模式 $y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{i} + \varepsilon_{i}, i = 1, \dots, 11$ ，其中 $\varepsilon_{i} \sim …

Question

考慮簡單線性迴歸模式 $y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{i} + \varepsilon_{i}, i = 1, \dots, 11$ ，其中 $\varepsilon_{i} \sim N(0, \sigma^{2})$ 為彼此獨立之隨機誤差。若所得的迴歸關係式為 $\hat{y} = 0.8 - 1.6x$ 且判定係數（coefficient of determination） $R^{2} = 0.64$ ，下列敘述何者正確？
(A) $x_{1},x_{2},\cdots,x_{11}$ 與 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{11}$ 的相關係數（coefficient of correlation）為0.8
(B) 觀察值 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{11}$ 與其對應之配適值（fitted values） $\hat{y}_{1},\hat{y}_{2,\cdots},\hat{y}_{11}$ 的相關係數為 0.64，其中配適值 $\hat{y}_{i}=0.8-1.6x_{i}, i=1,\cdots,11$
(C) 檢定 $H_{0}:\beta_{1}=0$ 對 $H_{1}:\beta_{1}
eq0$ 的 F 統計量值為 6.4
(D) $y_{1},y_{2},\cdots,y_{11}$ 之標準差為 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{11}$ 之標準差的2倍

Accepted Answer

正確答案為 D。 簡單線性迴歸中，相關係數 r 的符號同斜率 b1，且 |r| = √R²。本題 b1=-1.6 故 r=-0.8，進而推導 Y 與 X 標準差倍數關係。 (A) 【r 與 b1 符號連動】判定係數 R²=0.64，則相關係數絕對值 |r|=0.8。但簡單線性迴歸中，r 的符號必須與迴歸係數 β1（或 b1）相同。本題 b1=-1.6 為負，故 r 應為 -0.8，而非 +0.8。這是考選部最愛考的符號陷阱。 (B) 【y 與 ŷ 相關性】在簡單線性迴歸中，觀察值 y 與配適值 ŷ 的相關係數等於 |r|（即 √R²），而非 R² 本身。因此兩者相關係數應為 0.8，選項誤植為 0.64。此選項混淆了「相關係數」與「判定係數」的定義。

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考慮簡單線性迴歸模式 yi​=β0​+β1​xi​+εi​,i=1,…,11 ，其中 εi​∼N(0,σ2) 為彼此獨立之隨機誤差。若所得的迴歸關係式為 y^​=0.8−1.6x 且判定係數（coefficient of determination） R2=0.64 ，下列敘述何者正確？

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