考慮簡單線性迴歸模式 $y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{i} + \varepsilon_{i}, i = 1, \dots, 11$ ，其中 $\varepsilon_{i} \sim N(0, \sigma^{2})$ 為彼此獨立之隨機誤差。若所得的迴歸關係式為 $\hat{y} = 0.8 - 1.6x$ 且判定係數（coefficient of determination） $R^{2} = 0.64$ ，下列敘述何者正確？

五等-統計統計學大意107 年第 32 題單選題

考慮簡單線性迴歸模式 $y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ε_{i}$ ， $i = 1, \dots, 11$ ，其中 $ε_{i} \sim N (0, σ^{2})$ 為彼此獨立之隨機誤差。若所得的迴歸關係式為 $\overset{y}{^} = 0.8 - 1.6 x$ 且判定係數（coefficient of determination） $R^{2} = 0.64$ ，下列敘述何者正確？

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{11}

與

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{11}

的相關係數（coefficient of correlation）為

0.8

B觀察值

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{11}

與其對應之配適值（fitted values）

\overset{y}{^}_{1}, \overset{y}{^}_{2}, \dots, \overset{y}{^}_{11}

的相關係數為

0.64

，其中配適值

\overset{y}{^}_{i} = 0.8 - 1.6 x_{i}

，

i = 1, \dots, 11

C檢定

H_{0} : β_{1} = 0

對

H_{1} : β_{1} \neq = 0

的

F

統計量值為

6.4

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{11}

之標準差為

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{11}

之標準差的

2

倍正確答案

答案與詳解

正確答案

簡單線性迴歸中，相關係數 r 的符號同斜率 b1，且 |r| = √R²。本題 b1=-1.6 故 r=-0.8，進而推導 Y 與 X 標準差倍數關係。

根據公式 b1 = r × (Sy / Sx)。已知 b1 = -1.6，由 A 選項分析知 r = -0.8。代入得 -1.6 = -0.8 × (Sy / Sx)，解出 Sy / Sx = 2。即 y 的標準差為 x 標準差的 2 倍，敘述完全正確。

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