X₁, X₂, …, Xₙ 為一組從常態分配 N(μ, σ²) 隨機抽樣得到的樣本，令樣本平均數 X̄ = (1/n)∑Xᵢ，樣本變異數 S² = [1/(n-1)]∑(Xᵢ-X̄)²，下列敘述何者錯誤？

正確答案為 A。本題為反向題，此敘述錯誤。常態母體下，(n-1)S²/σ² 服從自由度為 n-1 的卡方分配，而非 n。

初考-統計統計學大意110 年第 8 題單選題

$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 為一組從常態分配 $N (μ, σ^{2})$ 隨機抽樣得到的樣本，令樣本平均數 $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum X_{i}$ ，樣本變異數 $S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}$ ，下列敘述何者錯誤？

A( n  1) S / σ 2 為卡方（  2 ）分配，自由度是 n 2 X μ正確答案

B當 n 趨近於無窮大，的分配會收斂到標準常態分配 S/ n

Cn( X  μ ) / S 為 F 分配，其自由度 1 和 n  1 2 2 2

DX 和 S 相互獨立

答案與詳解

正確答案

常態母體下，統計量 (n-1)S²/σ² 服從自由度為 n-1 的卡方分配，選項 A 錯在自由度寫成 n。

本題為反向題，此敘述錯誤。常態母體下，(n-1)S²/σ² 服從自由度為 n-1 的卡方分配，而非 n。

考點：卡方分配自由度考點：t分配漸近性質考點：t與F分配關係考點：常態母體特性

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