X₁, X₂, …, Xₙ 為一組從常態分配 N(μ, σ²) 隨機抽樣得到的樣本，令樣本平均數 X̄ = (1/n)∑Xᵢ，樣本變異數 S² = [1/(n-1)]∑(Xᵢ-X̄)²，下列敘述何者錯誤？

初考-統計統計學大意110 年第 8 題單選題

$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 為一組從常態分配 $N (μ, σ^{2})$ 隨機抽樣得到的樣本，令樣本平均數 $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum X_{i}$ ，樣本變異數 $S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}$ ，下列敘述何者錯誤？

A(n-1)S²/σ² 為卡方（χ²）分配，自由度是 n正確答案

B當 n 趨近於無窮大，(X̄-μ)/(S/√n) 的分配會收斂到標準常態分配

Cn(X̄-μ)²/S² 為 F 分配，其自由度 1 和 n-1

DX̄ 和 S² 相互獨立

答案與詳解

正確答案

常態母體抽樣下，(n-1)S²/σ² 服從自由度為 n-1 的卡方分配，而非 n。損失的1個自由度是因為使用了樣本平均數來估計母體平均數。

題目問何者錯誤。(n-1)S²/σ² 確實服從卡方分配，但其自由度應為「n-1」而非「n」，故此敘述錯誤，為本題應選答案。

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