令 X_i ~ N(μ, σ²) i.i.d.，i=1,...,n，且令 X̄ = 1/n ∑_{i=1}^{n} X_i，S² = 1/(n-1) ∑_{i=1}^{n} (X_i - X̄)²，則下列敘述何者錯誤？

正確答案為 C。官方判定為錯誤。但實際上由 $Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\sim N(0,1)$ 與 $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$ 獨立,可得 $(\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})\sim t_{n-1}$,此敘述按教科書定義為正確。

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初考-統計統計學大意105 年第 13 題單選題

令 $X_{i} \sim N (μ, σ^{2})$ i.i.d.， $i = 1, ..., n$ ，且令 $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ， $S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}$ ，則下列敘述何者錯誤？

\overset{ˉ}{X}

與

S^{2}

為獨立隨機變數

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}}

為自由度

n - 1

的卡方分配

\frac{X ˉ - μ}{S / n}

為自由度

n - 1

的 T 分配正確答案

E [\overset{ˉ}{X}] = μ

，

Var (\overset{ˉ}{X}) = σ^{2} / n

答案與詳解

正確答案

(C)在常態母體下,t統計量的確服從自由度n-1的t分配,此敘述其實正確;若硬要挑錯可能因官方認定其他理由,但四選項皆為常態抽樣標準結論。

為什麼答案是 C

官方判定為錯誤。但實際上由 $Z = (\overset{ˉ}{X} - μ) / (σ / n) \sim N (0, 1)$ 與 $(n - 1) S^{2} / σ^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}$ 獨立,可得 $(\overset{ˉ}{X} - μ) / (S / n) \sim t_{n - 1}$ ,此敘述按教科書定義為正確。