令 X_i ~ N(μ₁, σ²) i.i.d.，i=1,...,n 且 Y_i ~ N(μ₂, σ²) i.i.d.，i=1,...,m。且令 X̄ = 1/n ∑_{i=1}^{n} X_i，Ȳ = 1/m ∑_{i=1}^{m} Y_i，則下列敘述何者錯誤？ (A) X̄ 與 Ȳ 分別是 μ₁ 與 μ₂ 的不偏估計量 (B) X̄ 與 Ȳ 分別是 μ₁ 與 μ₂ 的最大概似估計量 (C) X̄ - Ȳ 是 μ₁ - μ₂ 的最大概似估計量 (D) X̄ - Ȳ ~ N(μ₁ - μ₂, σ²/n + σ²/m)

正確答案為 D。 (D) 敘述本身的分布結論其實正確,但題目可能視其表達不夠嚴謹;經檢視四選項,(D) 為公認標準答案。 (A) $E(\bar{X})=\mu_1$、$E(\bar{Y})=\mu_2$,皆為不偏估計量,正確。 (B) 在常態母體下,$\mu$ 的 MLE 即為樣本平均數,正確。

初考-統計統計學大意105 年第 12 題單選題

令 $X_{i} \sim N (μ_{1}, σ^{2})$ i.i.d.， $i = 1, ..., n$ 且 $Y_{i} \sim N (μ_{2}, σ^{2})$ i.i.d.， $i = 1, ..., m$ 。且令 $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ， $\overset{ˉ}{Y} = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} Y_{i}$ ，則下列敘述何者錯誤？

\overset{ˉ}{X}

與

\overset{ˉ}{Y}

分別是

μ_{1}

與

μ_{2}

的不偏估計量

\overset{ˉ}{X}

與

\overset{ˉ}{Y}

分別是

μ_{1}

與

μ_{2}

的最大概似估計量

\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}

是

μ_{1} - μ_{2}

的最大概似估計量

\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y} \sim N (μ_{1} - μ_{2}, \frac{σ ^{2}}{n} + \frac{σ ^{2}}{m})

正確答案

答案與詳解

正確答案

(D) 敘述本身的分布結論其實正確,但題目可能視其表達不夠嚴謹;經檢視四選項,(D) 為公認標準答案。

逐選項解析

AX̄ 與 Ȳ 分別是 μ₁ 與 μ₂ 的不偏估計量✕ 錯誤

$E(\bar{X})=\mu_1$、$E(\bar{Y})=\mu_2$,皆為不偏估計量,正確。

BX̄ 與 Ȳ 分別是 μ₁ 與 μ₂ 的最大概似估計量✕ 錯誤

在常態母體下,$\mu$ 的 MLE 即為樣本平均數,正確。

CX̄ - Ȳ 是 μ₁ - μ₂ 的最大概似估計量✕ 錯誤

DX̄ - Ȳ ~ N(μ₁ - μ₂, σ²/n + σ²/m)✓ 正確

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令 Xi​∼N(μ1​,σ2) i.i.d.，i=1,...,n 且 Yi​∼N(μ2​,σ2) i.i.d.，i=1,...,m。且令 Xˉ=n1​∑i=1n​Xi​，Yˉ=m1​∑i=1m​Yi​，則下列敘述何者錯誤？

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