假設 X₁, X₂, ..., Xₙ 為從平均值 μ、變異數 σ² 的常態分配中，所抽取出的隨機樣本，令 X̄ = (1/n)Σⁿᵢ₌₁ Xᵢ，則下列敘述何者錯誤？

正確答案為 C。錯誤(官方答案)。$\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$,期望值為 1,並非 $\sigma^2$。

初考-統計統計學大意112 年第 16 題單選題

假設 $X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}$ 為從平均值 $μ$ 、變異數 $σ^{2}$ 的常態分配中，所抽取出的隨機樣本，令 $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ，則下列敘述何者錯誤？

\overset{ˉ}{X}

為

μ

的不偏估計式

\overset{ˉ}{X}

為

μ

的最大概似估計式

\frac{n ( X ˉ - μ ) ^{2}}{σ ^{2}}

的期望值為

σ^{2}

正確答案

\frac{n ( X ˉ - μ ) ^{2}}{σ ^{2}}

的變異數為

σ^{2}

答案與詳解

正確答案

(C)(D)皆錯,該統計量服從卡方(1),期望值=1、變異數=2,非σ²。

錯誤(官方答案)。 $\frac{n ( X ˉ - μ ) ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (1)$ ,期望值為 1,並非 $σ^{2}$ 。

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