令 f(x; θ) = (1 - θ)xˠ⁽¹⁻ᶿ⁾，0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 1。θ 的最大概似估計值為：

正確答案為 A。正確。為 $\theta$ 的 MLE 標準形式 $\hat{\theta}=1-\frac{1}{n}\sum \ln x_i$(因 $\ln x_i\le 0$,此值介於 0 與 1 之間,合理)。

初考-統計統計學大意112 年第 21 題單選題

令 $f (x; θ) = (1 - θ) x^{γ (1 - θ)}$ ， $0 \leq x \leq 1$ ， $0 \leq θ \leq 1$ 。 $θ$ 的最大概似估計值為：

1 - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ln x_{i}

正確答案

1 + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ln x_{i}

1 - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ln x_{i}

- 1 + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ln x_{i}

答案與詳解

正確答案

對 log-likelihood 求導後解出

\hat{θ} = 1 + \frac{n}{\sum l n x _{i}}

，化簡形式即為 (A)。

正確。為 $θ$ 的 MLE 標準形式 $\hat{θ} = 1 - \frac{1}{n} \sum ln x_{i}$ (因 $ln x_{i} \leq 0$ ,此值介於 0 與 1 之間,合理)。

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