考慮下列簡單線性迴歸模式 yᵢ = β₀ + β₁xᵢ + εᵢ，i = 1, 2, ..., n，其中 εᵢ ~ N(0, σ²) 為彼此獨立且為常態分配之隨機誤差。b₀ 為 β₀ 的最小平方估計量，b₁ 為 β₁ 的最小平方估計量，rₓᵧ 是 x₁, x₂, ..., xₙ 與 y₁, y₂, ..., yₙ 的相關係數（coefficient of correlation），rŷy 是觀察值 y₁, y₂, ..., yₙ 與配適值（fitted value）ŷ₁, ŷ₂, ..., ŷₙ 的相關係數，而 R² ≠ 0 為判定係數（coefficient of determination）。則下列敘述何者錯誤？

初考-統計統計學大意107 年第 36 題單選題

考慮下列簡單線性迴歸模式 $y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ε_{i}$ ， $i = 1, 2, ..., n$ ，其中 $ε_{i} \sim N (0, σ^{2})$ 為彼此獨立且為常態分配之隨機誤差。 $b_{0}$ 為 $β_{0}$ 的最小平方估計量， $b_{1}$ 為 $β_{1}$ 的最小平方估計量， $r_{x y}$ 是 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ 與 $y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}$ 的相關係數（coefficient of correlation）， $r_{\overset{y}{^} y}$ 是觀察值 $y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}$ 與配適值（fitted value） $\overset{y}{^}_{1}, \overset{y}{^}_{2}, ..., \overset{y}{^}_{n}$ 的相關係數，而 $R^{2} \neq = 0$ 為判定係數（coefficient of determination）。則下列敘述何者錯誤？

A如果

r_{x y} > 0

，則

b_{1} > 0

B如果

b_{1} < 0

，則

r_{\overset{y}{^} y} = - R^{2}

正確答案

C如果

y_{i} = \overset{y}{^}_{i}

，則

r_{x y}^{2} = R^{2} = 1

r_{\overset{y}{^} y}^{2} = r_{x y}^{2} = R^{2}

答案與詳解

正確答案

簡單線性迴歸中，配適值與觀察值的相關係數 r_ŷy 恆為正值（等於 +√R²），與 b₁ 正負無關，故 B 選項錯誤。

r_ŷy 是配適值 ŷ 與觀察值 y 的相關係數。在簡單線性迴歸中，r_ŷy = +√R² 恆成立（永遠為正），即使 b₁ < 0 也不例外。題目說 b₁ < 0 時 r_ŷy = −√R²，此為錯誤。

考點：斜率與相關係數同號考點：r_ŷy 恆正考點：完美配適 R²=1考點：R²=r_xy²=r_ŷy²

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