x₁, x₂, ..., x₁₀ 為某公司 10 個星期每星期所打的電視廣告次數，而 y₁, y₂, ..., y₁₀ 為其每星期銷售量（100盒／單位），即 ȳ = 5，則銷售量為 500 盒。x₁, x₂, ..., x₁₀ 與 y₁, y₂, ..., y₁₀ 之共變異數（covariance）值為 11，而相關係數（coefficient of correlation）值為 0.98。下列敘述何者錯誤？

初考-統計統計學大意107 年第 22 題單選題

$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 為某公司 10 個星期每星期所打的電視廣告次數，而 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{10}$ 為其每星期銷售量（100盒／單位），即 $\overset{y}{ˉ} = 5$ ，則銷售量為 500 盒。 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 與 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{10}$ 之共變異數（covariance）值為 11，而相關係數（coefficient of correlation）值為 0.98。下列敘述何者錯誤？

A由共變異數值 11 可推估所打廣告次數與銷售量是正的線性相關

B相關係數 0.98 指出所打廣告次數與銷售量有高度線性相關

C如果廣告次數的觀察值為平均每天的廣告次數，即資料值為

\frac{x _{1}}{7}, \frac{x _{2}}{7}, \dots, \frac{x _{10}}{7}

而非原有資料值

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}

，則平均每天廣告次數及銷售量之相關係數值為 0.14正確答案

D如果銷售量之單位改為每單位 1 盒，即資料值為

100 y_{1}, 100 y_{2}, \dots, 100 y_{10}

而非原有資料值

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{10}

，則每週所打廣告次數及以盒為單位之銷售量的共變異數值為 1100

答案與詳解

正確答案

相關係數不受線性變換(同向縮放)影響,仍為 0.98,故 (C) 錯誤。

相關係數對 x、y 的線性(正向)變換具不變性。x 全體除以 7,r 仍為 0.98,並非 0.14,故錯誤(此為官方答案)。

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