對簡單線性迴歸模式 $y_{i} = \beta x_{i} + \varepsilon_{i}$ ， $i = 1, \ldots, 6$ ，其中 $\varepsilon_{i} \sim N(0, \sigma^{2})$ 為彼此獨立且為常態分配之隨機誤差，所得之資料其相關資訊如下，則： $$ \sum_ {i = 1} ^ {6} x _ {i} = 6, \sum_ {i = 1} ^ {6} y _ {i} = 3, \sum_ {i = 1} ^ {6} x _ {i} ^ {2} = 1 0, \sum_ {i = 1} ^ {6} y _ {i} ^ {2} = 3, \sum_ {i = 1} ^ {6} x _ {i} y _ {i} = 3, $$

初考-統計統計學大意107 年第 35 題單選題

對簡單線性迴歸模式 $y_{i} = β_{1} x_{i} + ε_{i}$ ， $i = 1, 2, \dots, 6$ ，其中 $ε_{i} \sim N (0, σ^{2})$ 為彼此獨立且為常態分配之隨機誤差，所得之資料其相關資訊如下： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 6$ ， $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{6} y_{i}^{2} = 3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 3$ ，則：

β

之最小平方估計量為

0

β

之最小平方估計量為

0.3

正確答案

\sum_{i = 1}^{6} e_{i} = 0

，其中

e_{i}

為第

i

個資料之殘差（residual）值

D若

r_{\overset{y}{^} y}

是觀察值

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{6}

與配適值（fitted value）

\overset{y}{^}_{1}, \overset{y}{^}_{2}, \dots, \overset{y}{^}_{6}

的相關係數（coefficient of correlation），則

r_{\overset{y}{^} y} > 0

答案與詳解

正確答案

本題為過原點迴歸模型，最小平方估計量公式為 Σxy/Σx²，代入數值計算得 0.3；殘差和不一定為零。

正確。簡單線性迴歸過原點時，β 之 OLS 估計量為 Σxiyi/Σxi²。題目給定 Σxiyi=3、Σxi²=10，故 β̂ = 3/10 = 0.3。

載入中…

比較項目	過原點迴歸 (y=βx+ε)	含截距迴歸 (y=β₀+β₁x+ε)	備考
β 估計量	Σxiyi / Σxi²	Sxy / Sxx	公式不同勿混用
殘差和 Σεi	不一定為 0	必定為 0	C選項陷阱關鍵
R² 定義	1 - SSE/SST (可能<0)	1 - SSE/SST (0≤R²≤1)	過原點R²解釋力較弱
自由度	n-1	n-2	參數個數影響檢定