國中教甄｜數學數學114 年第 33 題單選題

已知 $a, b$ 為實數，且 $a \neq = 0$ ，如果一多項式 $f (x)$ 除以 $a x + b$ ，得商式 $q (x)$ ，餘式為 $r$ ，其中 $r$ 為實數，則下列何者正確的？

A$f(x)$ 除以 $x + \frac{b}{a}$ ，得商 $q(x)$ ，餘式為 $r$

B$xf(x)$ 除以 $ax + b$ ，得商 $xq(x) - \frac{r}{a}$ ，餘式為 $\frac{br}{a}$

C$xf(x)$ 除以 $ax + b$ ，得商 $xq(x) + \frac{r}{a}$ ，餘式為 $-\frac{br}{a}$正確答案

D$x^2 f(x)$ 除以 $ax + b$ ，得商 $x^2 q(x) + \frac{r}{a} x + \frac{br}{a^2}$ ，餘式為 $-\frac{b^2 r}{a^2}$

答案與詳解

正確答案

利用多項式除法的定義與代數恆等式，將

x f (x)

展開並重新組合出

(a x + b)

的倍式，即可求得正確的商式與餘式。

為什麼答案是 C

將 $f (x) = (a x + b) q (x) + r$ 兩邊乘 $x$ 得 $x f (x) = (a x + b) x q (x) + r x$ 。再將 $r x$ 寫成 $rac{r}{a}(ax+b) - rac{br}{a}$ ，代入得 $xf(x) = (ax+b)(xq(x) + rac{r}{a}) - rac{br}{a}$ ，故商式為 $xq(x) + rac{r}{a}$ ，餘式為 $- rac{br}{a}$ ，完全正確。