102 年 · 數學（南區聯盟）

已知一個二位數是其數字和的 $n$ 倍，如果將此二位數的十位數字與個位數字互換得到一個新的二位數，則此新數是其數字和的幾倍？

自 1, 2, 3, ..., 9 這 9 個數中選出 7 個不同的數相加，其和是 3 的倍數，試問共有多少種不同的選法滿足上述…

如圖， $\Delta ABC$ 中， $\overline{AB} = \overline{AC} = 10$ ， $D, E…

設 $\alpha, \beta, p, q, r, s$ 為實數，如果 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta…

已知三角形 $ABC$ 的面積為 10，且 $D, E, F$ 分別為邊 $\overline{BC}, \overline{A…

試問方程式 $(x^{2}-x-1)^{x+2}=1$ 共有多少個整數解 x？

試問子空間 $V = \{ x \in \square^{4} | x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} …

已知 $a, b, x, y, z$ 皆為非負整數，試問共有多少組解 $(a, b, x, y, z)$ 滿足方程式 $a^2 …

試問 $\lim_{x\to 0}\frac{x - \tan x}{x - \sin x}$ 之值為下列何者？

已知實數 $a, b, c$ 滿足條件 $a = \sqrt{2} + b$ , 且 $2ab + 2\sqrt{2}c^2 +…

已知 $z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ ， $w=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ ，其中 $…

已知 $n=1+5\times69+10\times69^{2}+10\times69^{3}+5\times69^{4}+69…

已知正數 $a, b$ 滿足條件 $\log_9 a = \log_{12} b = \log_{16}(a + b)$ ，則 …

試問共有多少組實數解數對 $(x, y)$ 滿足方程組 $x + y + xy = 19$ 與 $x^{2} + y^{2} =…

在 $\Delta ABC$ 中， $\angle C = 3\angle A, \overline{AB} = 48, \ov…

化簡 $4\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{97-56\sqrt{3}}$ 之值為下列何者？

試問 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{n}+\frac{\si…

如果 $y = f(x)$ 為微分方程式 $\frac{dy}{dx} = (y - 1)(y - 2)$ 的解，且满足條件 $…

以下矩陣都是 $n$ 階方陣，下列何者為正確？

設 $[x]$ 表示不大於 $x$ 的最大整數，例如： $[0.9] = 0$ 及 $[1.6] = 1$ ， $[\log_2…

設 $n$ 為正整數，如果 $n^3 - 14n^2 + 64n - 93$ 為一質數，試問滿足這樣條件的所有可能 $n$ 值共…

試問滿足方程式 $(x^{2} + y^{2} - 4)^{2}(xy - 1)^{2} + \sqrt{y^{2} - x^{…

設 $x, y$ 為實數，如果 $x, y$ 滿足條件 $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 6$ ，則 $\fra…

設 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy(y^2 - x^2)}{x^2 + y^2}, & (x…

已知函數 f 的定義域為所有正整數，且滿足條件 $f(1)=2013$ 及對於任意正整數 n>1， $f(1)+f(2)+\cd…

$\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=

$\Omega = \left\{(x,y)\in R^2:x + y\leq 2;x,y\geq 0\right\}$ ; $…

$\Gamma = \left\{z(\theta): z(\theta) = e^{i\theta}, -\pi \leq \…

$\lim_{x\to 4}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2}}{x-4}=$

$\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{1+n^{2}}+\dfrac{n}{2^{2}+n^{2}…

$[\cdot]$ 是高斯函数， $\lim_{x\to 3}[x - [x]] =

$\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin 7\theta}{\sin 3\theta} =

$f(x) = \begin{cases} x^6 & ,x\in Q\\ x^2 & ,x\notin Q \end{case…

若 $h(x)=\left\{\begin{aligned}&\frac{ax^{2}-x-a+1}{x-1},&x\neq1\…

若 $f'(k)$ 存在，則 $\lim_{x \to k} \frac{xf(k)+-kf(x)}{x-k} =$

[⋅] 是高斯函數 ，則 g ( x ) = x [ x ] 在 x = 1

ln 3 x dx x ∫ ＝

$\int \sin^{-1} x dx =$

( ) 1 1 n n n ∞ = − ∑ 是

瑕積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx$ 是

H 是G 的正規子群（normal subgroup） ，H 、G 的 order 分別是 3、21，請問商群（factor g…

設 k ∈ R ，對任意 x ≥ 0 ，恆有 x 3 − 2 x 2 − 4 x + k > 0 ， k 的範圍是

球面 2 2 2 : 1 0 S x y z x y z + + + + + − = 與直線 1 1 : 2 2 1 x y z…

1 12 : 11 3 x t L y t = +   = −  ，t R ∈ ； 2 3 4 : 1 x t L y t…

方程組 5 3 0 2 3 4 17 x y z x y z a x y bz + − =   + + =   + + …

$x+y+z=7$ 、 $y=z$ 兩平面之夾角是

過 $P(1,-3,-5)$、$P(2,1,7)$ 兩點之直線的對稱式為

若α 、β 、γ 為任意三角形之三個內角，則 tan 1 1 1 tan 1 1 1 tan α β γ ＝

點 (1, 1) P − 到直線3 4 7 x y + = 的距離是

x, y ∈ R 且 x 2 + y 2 = 16 ，則 3x − 4 y 的最大值為