115 年 · 數學（桃園市） 試題與解答

等差數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{1}=5, a_{n+1}-a_{n}=\frac{2}{5}(n\geq1)$…

如圖，ABCD 為正方形，點 E 在邊 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{BE}:\overline…

設實數 $x \neq -1$ 滿足 $\frac{x + 1}{x^2 - 3x + 2026} + \frac{x}{x +…

已知 $x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ 、 $y = \frac{\sqrt{6} - \…

某班舉辦數學測驗，全班每人都得到整數分數。老師發現：「平均分數是78分」、「去掉最高分後，平均變成76分」、「最高分是96分」。…

設n為自然數，試問： $10^{n}$ 除以13的餘數有幾種？ Ⓐ 4 Ⓑ 5 © 6 ⑭ 7

數列 $\langle\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{1}{4},\frac…

將 $3^{2} \times 4^{11} \times 5^{23}$ 乘開後是幾位數？ A 21 B 22 C 23 D …

解方程式 $\sqrt{x + \sqrt{12x - 35}} + \sqrt{x - \sqrt{12x - 35}} = …

$\sum_{k=1}^{10}[(2k+1)(k-3)] = ?$

若 $(x^{2}-2x+1)^{4}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{8}x^{8}$ ,…

請問有多少個整數 $x$ 滿足不等式 $|x - 10| < |x + 10| < |x - 30|$ ?

介於 $\frac{1}{12}$ 與 $\frac{1}{13}$ 之間的有理數為 $\frac{k}{1092}$ 的最簡分…

設 $x$ 為正實數，滿足 $x^{2} - 3x - 1 = 0$ ，則 $x^{3} + x^{2} + x^{-2} - …

某遊戲共有 210 位玩家，每位玩家均持有寶石，其中持有 1 顆的有 1 位，持有 2 顆的有 2 位，依此類推，持有 20 顆…

從 1 到 20 的 20 個整數中，取出相異的三個數 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，使此三個數成為等比數列，且 $a < …

投擲一顆骰子，假設點數出現之機率與點數成比例，求出現點數為3或6的機率為何？

設 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ ，已知所有滿足 $\sin 2\theta > \sin \theta$…

試問有多少個實數 $x$ 滿足 $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin x + …

$y = \tan(\pi x^{2})$ 的微分

若 A 和 B 為實數矩陣，下列選項何者一定正確？ Ⓐ $AB \neq BA$ Ⓑ AB = BA © $\det(AB) =…

計算行列式 $\begin{vmatrix}2024 & 2025 & 2026 \\ 2025 & 2026 & 2027 \…

已知實係數五次多項式 $f(x)$ 滿足 $f(i) = 0$ 且 $f(2 + 3i) = 0$ ，試問：函數 $y = f(…

設 $f(x,y) = x^{2}y^{3} + e^{x + y}$ ，試求 $\frac{\partial f}{\part…

將正整數從 1 開始依序按一定的規律置放於下圖的格子中。依照圖的排列規律，請問：9999 會排在第幾行？

如圖(一)， $\Delta ABC$ 是一張等腰直角三角形的紙卡， $\angle ACB = 90^{\circ}$ ， $…

已知 A=11111111…11 為 100 位數，B=222…22 為 50 位數。若 C=A-B，則 C 所有位值的數字總和…

如圖是一個七邊形的網狀圖，將平面分為 A、B、C、D、E、F、G 等七個區域。例如 15 號在 F 區，16 號在 G 區。依照…

若 $\alpha$ 與 $\beta$ 是方程式 $x^{2} + px + 8 = 0$ 的兩相異實根，且 $|\alpha…

「舊式門牌取下來，新型門牌亮起來」市政府新發的門牌採用以下字型製作： 1234567890 小明家的門牌號碼是四位數 a，爸爸掛…

若 $\log_{2}3 = a$ ， $\log_{3}7 = b$ ，求 $\log_{42}28$ 之值为何？

試求 $\int \tan^2 x\,dx$ 之值為何？

已知 $2\ln (x - 2y) = \ln x + \ln y$ ，求 $\frac{x}{y} = ?$

如圖，王老師利用 6、15、27 枝火柴棒，依序排列出 1、2、3 層的「蜂窩圖」，如圖 1、圖 2、圖 3 所示。 圖1 圖2…

在十進制中，數 $379_{10}$ 代表 $3 \times 10^{2} + 7 \times 10 + 9$ 。在 r 進…

「抽牌卡・加減算」。小明分別從紅色與黑色數字牌（各有數字1\~9）中各抽取1張數字牌，紅色牌上的數字為a；黑色牌上的數字為b。求…

如圖，平面上斜置面積分別為1、2、3平方單位的正方形以及正擺的四個正方形 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$…

令 $f(n)=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^{2}}{n^{3}}$ ，求 $\lim_{n\to\inft…

設函數 $f(x)$ 滿足 $f(x+2)=\frac{f(x)-1}{f(x)+1}$ ，已知 $f(1)=-3$ ，求 $f…

設 $f(x)=x^{2}-4x+5$ ， $x\in[-1,8]$ ，求 $f(x)$ 的最大值為何？

平面上，求 $y = x^{2}$ 及 $x + y = 2$ 所圍成的區域，其面積為多少？

設整數 $a$ 使得 $\frac{a - 6}{a + 1}$ 也是整數，求 $a$ 的所有可能值的和為多少？ A-4 B0 …

設 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 都是整數且滿足 $\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2…

設 $a, b$ 均為整數且 $a > b$ ，已知 $a + b + 3ab - 62 = 0$ ，求 $a + b$ 的所有…

設 $a$ 、 $b$ 為直角三角形的兩股長， $c$ 為斜邊長。若實數 $x$ 、 $y$ 滿足 $\frac{x}{2a^2…

設 $0 < x < \pi$ ，求 $\frac{2 - \cos x}{\sin x}$ 的最小值為多少？

對任意實數 $x$ 均滿足 $f(x + 3) \leq f(x) + 3$ 且 $f(x + 2) \geq f(x) + 2…

由數字1、2、3所組成的5位數，要求此5位數中1、2、3每一個數字至少要出現一次，求滿足這樣條件的5位數的個數有多少個？

設正實數x,y滿足 $f(xy)=f(x)+f(y)$ 且 $f(2)=2$ ， 求 $f\left(\frac{1}{32}\…

在等腰△ABC中， $\overline{AB}=\overline{AC}$ ，設點E為 $\overline{AB}$ 的中…