將11個正整數由小到大排列可得數列 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、…、 $a_{11}$ 。若此數列的算術平均數為10，中位數為9，眾數為8(其他正整數出現的次數都比8少)，則此數列的末項 $a_{11}$ 的最大值為何？

【108 國中教甄｜數學】數學第80題：將11個正整數由小到大排列可得數列 $a_{… 答案與詳解

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正確答案

為了讓末項最大，要把前10項和壓到最小；在滿足中位數9且8為唯一眾數下，最小前10項和為75，所以末項最大值為110−75＝35。

數列可取為 1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,35。總和為110，平均數為10；第6項為9，中位數為9；8出現3次，其他數出現次數最多2次，因此8為眾數。故末項最大值為35。

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