已知實數 $a, b$ 滿足條件 $a^3 = 3ab^2 + 11$ 與 $b^3 = 3a^2b + 2$ ，則 $a^2 + b^2$ 之值為下列何者？ (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

正確答案為 B。將兩已知等式重新排列後平方相加，可湊出 $(a^2+b^2)^3$ 的展開式，進而求得 $a^2+b^2$。 (A) 計算過程錯誤，未能正確構造出完全立方和。 (B) 正確將兩式平方相加得到 $(a^2+b^2)^3 = 125$，開立方根得 5。

國中教甄｜數學數學115 年第 29 題單選題

已知實數 $a, b$ 滿足條件 $a^{3} = 3 a b^{2} + 11$ 與 $b^{3} = 3 a^{2} b + 2$ ，則 $a^{2} + b^{2}$ 之值為下列何者？

B5正確答案

答案與詳解

正確答案

將兩已知等式重新排列後平方相加，可湊出

(a^{2} + b^{2})^{3}

的展開式，進而求得

a^{2} + b^{2}

。

A4✕ 錯誤

計算過程錯誤，未能正確構造出完全立方和。

B5✓ 正確

正確將兩式平方相加得到 $(a^2+b^2)^3 = 125$，開立方根得 5。

C6✕ 錯誤

D7✕ 錯誤

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