國中教甄｜數學數學115 年第 26 題單選題

已知正數 $a, b$ 滿足條件 $lo g_{9} a = lo g_{12} b = lo g_{16} (a + b)$ ，則 $\frac{b}{a}$ 之值為何？

A$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

B$\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

C$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$正確答案

D$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

答案與詳解

正確答案

設對數值為 k，將 a、b、a+b 轉為指數形式，利用 b/a 與 (a+b)/a 的關係建立一元二次方程式求解。

A$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$✕ 易錯陷阱

方程式 t^2 - t - 1 = 0 的兩根為 (1 + √5)/2 與 (1 - √5)/2。選項 A 的 (√5 - 1)/2 並非該方程式的根（它是 1/t 的值，或 t^2 + t - 1 = 0 的正根），故不正確。

B$\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$✕ 錯誤

此數值與本題推導出的一元二次方程式 t^2 - t - 1 = 0 無關，為干擾選項。

C$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$✓ 正確

D$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$✕ 錯誤

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精選詳解

已知正數 a,b 滿足條件 log9​a=log12​b=log16​(a+b) ，則 ab​ 之值為何？