已知 $n$ 為正整數且 $\phi(n)$ 代表不大於 $n$ 且與 $n$ 互質的正整數個數(其中 $\phi(1)=1$ ), 則下列敘述何者錯誤? (A) 若 $n$ 為質數, 則 $\phi(n)=n-1$ (B) 若 $\phi(n)=n-1$ , 則 $n$ 必為質數 (C) 若 $n$ 為奇數, 則 $\phi(2n)=\phi(n)$ (D) 若 $\phi(n+2)=\phi(n)+2$ , 則 $n$ 必為質數

正確答案為 D。選項(D)存在反例（如n=14），滿足等式但n非質數，故為錯誤敘述。 (A) 若n為質數，則1到n-1皆與n互質，故φ(n)=n-1。敘述正確，故不選。 (B) 若φ(n)=n-1，表示1到n-1皆與n互質，即n沒有小於n且大於1的因數，故n必為質數。敘述正確，故不選。

國中教甄｜數學數學103 年第 30 題單選題

已知 $n$ 為正整數且 $ϕ (n)$ 代表不大於 $n$ 且與 $n$ 互質的正整數個數(其中 $ϕ (1) = 1$ ), 則下列敘述何者錯誤?

A若 $n$ 為質數, 則 $\phi(n)=n-1$

B若 $\phi(n)=n-1$ , 則 $n$ 必為質數

C若 $n$ 為奇數, 則 $\phi(2n)=\phi(n)$

D若 $\phi(n+2)=\phi(n)+2$ , 則 $n$ 必為質數正確答案

答案與詳解

正確答案

選項(D)存在反例（如n=14），滿足等式但n非質數，故為錯誤敘述。

A若 $n$ 為質數, 則 $\phi(n)=n-1$✕ 錯誤

若n為質數，則1到n-1皆與n互質，故φ(n)=n-1。敘述正確，故不選。

B若 $\phi(n)=n-1$ , 則 $n$ 必為質數✕ 錯誤

若φ(n)=n-1，表示1到n-1皆與n互質，即n沒有小於n且大於1的因數，故n必為質數。敘述正確，故不選。

C若 $n$ 為奇數, 則 $\phi(2n)=\phi(n)$✕ 錯誤

D若 $\phi(n+2)=\phi(n)+2$ , 則 $n$ 必為質數✓ 正確

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