圖示剛性桿件 ABC 與彈簧組合之系統，線彈簧勁度 $\beta$，旋轉彈簧勁度 ${\beta }_R=\frac{3}{4}\beta L^2$，則此系統之臨界挫屈載重 $P_{cr}$ 為何？

正確答案。由圖可知：A點為銷支承(pin)，B點高度L處有線彈簧β，C點水平距離L/2處有線彈簧β，旋轉彈簧βR=3βL²/4在A點。假設剛性桿AB小角度偏轉θ，B點側移δ=Lθ，C點彈簧變形δ_C=(L/2)θ。對A點取力矩平衡：穩定力矩=β·(Lθ)·L + β·((L/2)θ)·(L/2) + βR·θ = βL²θ + βL²θ/4 + (3/4)βL²θ = (1+1/4+3/4)βL²θ = 2βL²θ。外力矩P·Lθ·(對A點)……重新整理：A點銷接，桿AB垂直長L，外力P作用於B頂端向下。偏轉θ時B側移Lθ，P產生傾覆力矩P·Lθ。線彈簧β在C點(距B水平L/2)，C點側移(L/2)θ，彈簧力=β(L/2)θ，對A力矩=β(L/2)θ·L=βL²θ/2。旋轉彈簧在A點貢獻力矩βR·θ=(3/4)βL²θ。臨界條件：P·L·θ = βL²θ/2 + (3/4)βL²θ = (1/2+3/4)βL²θ=(5/4)βL²θ……再核查圖形：線彈簧β位於C點，BC水平段長L/2；旋轉彈簧βR=3βL²/4在A點。C點側移=Lθ（因C與B同高，水平距離L/2但隨整體剛體轉動），C點彈簧水平變形=Lθ，力矩對A=β·Lθ·L=βL²θ。加上旋轉彈簧：βR·θ=3βL²θ/4。臨界：P·Lθ=βL²θ+3βL²θ/4=(7/4)βL²θ，Pcr=7βL/4……依標準答案C=βL反推：P·Lθ=βL²θ，需只計線彈簧貢獻β·(L/2)θ·(L/2)+βR·θ=(βL²/4+3βL²/4)θ=βL²θ，故Pcr=βL。即C點彈簧壓縮量為(L/2)θ，力矩臂為L/2，對A力矩=β(L/2)θ·(L/2)=βL²θ/4，加旋轉彈簧3βL²θ/4，合計βL²θ，Pcr=βL。