111 年 · 數學（臺中市） 試題與解答

設 $f(x) = x \sin(x) + e^{-x}$ ，則 $\lim_{h \to 0} \frac{f(2h) - 2…

求曲線 $x^{2}+3xy+y^{2}+x-y=10$ 在點 (1, 2) 上的切線方程式為何？

設 $f(x)=\frac{d}{dx}\left(\int_{1}^{\cos x}\sqrt{1+t^{4}}dt\righ…

設區間 $[a, b)$ 為幂級數 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x+1)^{k}}{k2^{k}}$ …

設空間中一點 (2, 1, 3) 關於平面 $x - 3y + 2z = 4$ 的對稱點座標為 $(\alpha, \beta,…

設矩陣 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ，若 $A^{1…

用 2,3,4,5,6,7,8這七個數，可以組成多少個不重複的 5 位偶數，但 3 不在百位上？

已知 $\log3=0.4771$ . 設 n 為最小的自然數滿足 $10^{n-2}>9^{n}$ ，則 n=?

設 $x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} - \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}$ ，則 $x^{3…

設 $x = \frac{1 - i}{\sqrt{3} - i}$ ，則 $64x^{10}$ 之值為何？

下列何者不是13 的倍數？

$(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{10})^{2}$ 的展開式中…

設 $\log x + 2\log y = 1$ ，試求 $3x + 2y^{2}$ 的最小值為何？

已知 $3-\sqrt{5}$ 是方程式 $x^{2}-9x\cos\theta+4=0$ 的一個根，且 $\theta$ 為銳…

用下列四個多項式 $1 + 2x - x^{2} + x^{3}$ , $3 + x + x^{2} + 2x^{3}$ , $…

若方程組 $\left\{\begin{aligned}3x+3y-z=10\\ 4x-y-3z=2m\\ nx-4y-2z=m…

設 $\alpha$ 為 $|(z-1)(z+\frac{1}{2})|$ 在圓盤 $\{z\in\mathbb{C}:|z|\…

求極限 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x}$ 。

假設 $f(x) = \cos (\sin (x))$ ，則 $f'(0)$ 為

假設 $L$ 表示曲線 $y = x^{2}$ 在(1,1)處之切線，則 $L$ 與 $x$ 軸之交點 $x$ 座標為

假設 $f(x) = x^{2} + y^{2}$ ，則 $\nabla f(1,1)$ 為

積分 $\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \cos x^{2} \mathrm{~d} x$ 為

極限值 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{k}{n}…

極限值 $\lim_{s\to\pi}\frac{1}{s-\pi}\int_{\pi}^{s}\cos^{3}x\,dx$ 為

假設 $f(x)=\left\{\begin{aligned}&1,x>1\\ &0,x\leq1\end{aligned}\r…

級數 $\frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^{2} + \left(\frac{1}{…

假設 $\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}a…

在函數 $f(x)=\sin x$ 的馬克勞倫級數(Maclaurin series)中 $x^{18}$ 的係數為何？ (A)…

幂級數 $y = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$ 為以下哪個方程式的解。

假設 $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{kx^{k}}{k!}$ ，則 $f^{(3)}(0)$ 為

假設 A 為 $2 \times 3$ 實數矩陣且 C 為 $5 \times 8$ 實數矩陣，現在假設 ABC 三矩陣之乘法有…

以下哪一個方陣不可逆？

令 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ ，則 …

假設 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} / \sqrt{2}…

1 1 2 = 1 3 4 1 1 2 A           ，則矩陣 A 的零化度(nullity)為

假設 V 表示所有的 23實數矩陣所構成之向量空間，則 V 的維度為

$\int_{0}^{\pi} x^{2} \cos x dx = ?$

已知 E ( X + 1) = 3 且 E[( X + 1) 2 ] = 20 ，求 Var (2 X - 1) =？

$\int_{0}^{\pi}[f''(x)+f(x)]\sin x\,dx=0$ 且 $f(0)=-\frac{1}{2}$，…

連續同時投擲兩枚公正的六面骰子,設隨機變數X為第一次出現點數和為5所需投擲的次數,求$E(5X-1)$之值

設函數 f ( x) = cos 2 2 x + 4 cos 2 x - 4 ，求 f ( x) 的最小值為

$\lim_{x \to 0} x^{-3} \int_{0}^{2x} \frac{t^2}{1+t^3} dt$

設  cos 2 1 = + x x ， 2 0   < < ，求 3 3 1 x x + 之值

設 a > 0 , b > 0 且a + b = 4，求 3 log a + log b 之最大值為

求 \frac { 3 ^ { 8 } + 3 ^ { 6 } + 3 ^ { 4 } + 3 ^ { 2 } + 1 } { …

設實數$k$使得方程式$x^{2}+kx+1=0$與$x^{2}+x+k=0$至少有一公共根，則所有可能的$k$值其和為

若a, b為整數且滿足 | ab | + | a + b |= 5 ，則(a, b)的所有可能解共有幾組？

設 $a_i$, $i=1, 2, ..., 50$ 為正整數，已知 $\sum_{i=1}^{50} a_i = 1504$ …

在座標平面上滿足 $y^2 - 4x^2 \le 0$ 與 $|x| \le 2$ 的區域其面積為

設 $0 < X < 1$, $0 < Y < 1$，求 $X + Y \le a (1 < a < 2)$ 的機率，即求 $P…