如圖所示之二次曲線分佈力量，求合力之大小為多少 N？
A80 N正確答案
B120 N
C160 N
D200 N
答案與詳解
A
正確答案
分佈力合力＝對分佈函數積分，w(x)=30x²從0到2m積分，得合力80N
為什麼答案是 A
合力R = ∫₀² 30x² dx = 30·(x³/3)|₀² = 10×8 = 80 N，正確答案
考點：分佈力積分求合力考點：最大強度≠合力考點：錯誤公式套用考點：粗估錯誤
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完整詳解
Pro · 無限重點 分佈力合力＝對分佈函數積分，w(x)=30x²從0到2m積分，得合力80N
秒殺技巧
∫₀²30x² dx = 30·[x³/3]₀² = 10·8 = 80 N，選A秒殺逐選項分析
A分佈力積分求合力✓ 正確
合力R = ∫₀² 30x² dx = 30·(x³/3)|₀² = 10×8 = 80 N，正確答案
B最大強度≠合力✕ 陷阱
120 N/m是最大強度值，不是合力大小；誤將最大分佈強度當成合力是常見陷阱
C錯誤公式套用✕ 陷阱
160 N可能來自誤用梯形面積或三角分佈公式(1/2×120×2=120，再誤算)，非正確積分結果
D粗估錯誤✕
200 N可能來自直接相乘120×2=240或其他錯誤估算，與積分結果不符
常見分佈力合力計算對照
| 分佈類型 | 函數形式 | 合力公式 | 合力作用點 |
|---|---|---|---|
| 均勻分佈 | w(x)=w₀ | R=w₀·L | L/2處 |
| 三角分佈 | w(x)=w₀·x/L | R=½w₀·L | 距零端L/3處 |
| 二次曲線分佈 | w(x)=ax² | R=∫₀ᴸax²dx=aL³/3 | 距零端3L/4處 |
陷阱提醒
題目同時給出函數w(x)=30x²及最大值120 N/m，考生容易將120 N/m直接當成答案或套用三角形面積公式(½×120×2=120)。二次曲線分佈必須用積分，其合力僅為最大強度×長度的1/3，即120×2×(1/3)=80 N，也可驗算。