大地工程技師高等考試-大地工程技師考試分階段考試(第一階段考試)材料力學111 年第 7 題單選題

一埋置於土壤內的金屬管，其材料的彈性模數為 $E$ ，管的長度為 $L$ ，斷面積為 $A$ 。欲將此管拉拔出土壤，需要於管頂施加拉力 $P$ 。假設土壤與管的摩擦力由 $B$ 點的 $0$ ，線性遞增至 $C$ 點的 $f_{ma x}$ ，則在金屬管與土壤不發生滑動（slip）的前提下，金屬管最大的變形量為何？

\frac{f _{ma x}^{2} L}{3 A E}

正確答案

\frac{f _{ma x}^{2} L}{2 A E}

\frac{f _{ma x}^{2} L}{6 A E}

\frac{f _{ma x}^{2} L}{4 A E}

答案與詳解

正確答案

本題考查受分佈軸向力構件的變形量。當摩擦力呈線性分佈且在遠端（底部）最大時，積分求得的變形量公式係數為 1/3。

為什麼答案是 A

截面內力 $N (x) = \int_{x}^{L} \frac{f _{ma x}}{L} ξ d ξ = \frac{f _{ma x}}{2 L} (L^{2} - x^{2})$ 。積分求總變形量 $δ = \int_{0}^{L} \frac{N ( x )}{A E} d x = \frac{f _{ma x} L ^{2}}{3 A E}$ 。選項中 $f_{ma x}^{2} L$ 應為 $f_{ma x} L^{2}$ 的排版誤植，但係數 1/3 正確。