在平面應力狀況下 $\sigma_{x}=34\ psi$ ， $\sigma_{y}=41psi$ ，若已知最小主應力為 25 Psi，則最大主應力為：
A45 psi
B50 psi正確答案
C55 psi
D60 psi
E65 psi
答案與詳解
B
正確答案
平面應力主應力利用「兩主應力之和＝σx＋σy」不變量，已知最小主應力即可秒求最大主應力。
為什麼答案是 B
50 psi：σ₁＋σ₂＝σx＋σy＝75 psi，σ₂＝25 psi → σ₁＝50 psi，正確。
考點：主應力不變量
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 平面應力主應力利用「兩主應力之和＝σx＋σy」不變量，已知最小主應力即可秒求最大主應力。
秒殺技巧
主應力和不變量：σ₁＋σ₂＝σx＋σy＝34＋41＝75 psi，最小主應力25 psi → 最大主應力＝75－25＝50 psi。逐選項分析
A主應力不變量✕
45 psi：75－25＝50，非45，此選項計算有誤。
B主應力不變量✓ 正確
50 psi：σ₁＋σ₂＝σx＋σy＝75 psi，σ₂＝25 psi → σ₁＝50 psi，正確。
C主應力不變量✕
55 psi：若σ₁＝55，則σ₁＋σ₂＝80≠75，不符合不變量條件。
D主應力不變量✕
60 psi：若σ₁＝60，則σ₁＋σ₂＝85≠75，不符合不變量條件。
E主應力不變量✕
65 psi：若σ₁＝65，則σ₁＋σ₂＝90≠75，偏差最大，明顯錯誤。
平面應力主應力公式與不變量整理
| 項目 | 公式 | 本題代入 |
|---|---|---|
| 正向應力和（第一不變量） | σ₁＋σ₂＝σx＋σy | 34＋41＝75 psi |
| 主應力差（含剪應力） | σ₁－σ₂＝√[(σx－σy)²＋4τxy²] | 75－2×25＝25 psi（驗算：差值25，半差12.5） |
| 最大主應力 | σ₁＝(σx＋σy)/2＋R | 75/2＋12.5＝50 psi ✓ |
| 最小主應力 | σ₂＝(σx＋σy)/2－R | 75/2－12.5＝25 psi ✓ |
| Mohr圓圓心 | C＝(σx＋σy)/2 | 37.5 psi |
| Mohr圓半徑R | σ₁－C 或 C－σ₂ | 50－37.5＝12.5 psi |
陷阱提醒
本題陷阱在於：σx＝34 psi、σy＝41 psi 都介於25與50之間，考生容易誤以為原始σx、σy就是主應力，或誤認最大主應力必定等於σy＝41 psi。實際上，主應力是旋轉座標到剪應力為零時的正向應力，與原始σx、σy不同。