國營聯招機械工程力學95 年第 48 題單選題

一質點沿雙曲線 $\frac{x^2}{4} - y^2 = 3$ 運動，若此質點在 $X$ 方向為等速運動 $v_x = 4\frac{m}{s}$ ，則此質點在座標 (4,1)m 位置之速度和加速度大小應為？

A$\nu=5.657\ m/s$正確答案

B$\nu=6.807\ m/s$

C$a = 8.34 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$

Da = 12 m/s $^{2}$正確答案

E$a = 14 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$

答案與詳解

A、D

正確答案

沿雙曲線運動，x方向等速(ẋ=4)，對曲線方程式求一、二階時間微分，代入(4,1)求速度與加速度分量，再合成。

為什麼答案是 A、D

ẏ = (x·ẋ)/(4y) = (4×4)/(4×1) = 4，v = √(4²+4²) = √32 ≈ 5.657 m/s，正確。

考點：速度合成考點：速度誤算考點：加速度誤算考點：加速度合成

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完整詳解

Pro · 無限

重點　沿雙曲線運動，x方向等速(ẋ=4)，對曲線方程式求一、二階時間微分，代入(4,1)求速度與加速度分量，再合成。

秒殺技巧

對 x²/4 - y² = 3 微分求ẏ，再微分求ÿ，代(4,1)與ẋ=4、ẍ=0，合成v=√(ẋ²+ẏ²)，合成a=√(ẍ²+ÿ²)。

逐選項分析

A速度合成✓ 正確

ẏ = (x·ẋ)/(4y) = (4×4)/(4×1) = 4，v = √(4²+4²) = √32 ≈ 5.657 m/s，正確。

B速度誤算✕ 陷阱

6.807 m/s為錯誤計算結果，常見於加速度分量誤混入速度計算，或微分過程出錯。

C加速度誤算✕ 陷阱

8.34 m/s²非正確加速度，可能來自ÿ計算時漏掉ẋ²項或代入座標錯誤。

D加速度合成✓ 正確

二次微分：ÿ = [ẋ²·4y² - x²·ẋ²·... 詳算] → ÿ = (ẋ²·4y² - x²ẋ²)/(4y³)·(1/4)，精確計算得ÿ = (ẋ²/4y) - (xẋ)²/(4y³)×...；正確步驟：對 x²/4 - y² = 3 一階微分得 x·ẋ/2 - 2y·ẏ = 0，二階微分得 (ẋ²+x·ẍ)/2 - 2(ẏ²+y·ÿ) = 0，代入x=4,y=1,ẋ=4,ẍ=0,ẏ=4：(16+0)/2 - 2(16+ÿ) = 0 → 8 - 32 - 2ÿ = 0 → ÿ = -12，a = √(0²+(-12)²) = 12 m/s²，正確。

E加速度誤算✕

14 m/s²為錯誤結果，常見於二階微分時符號出錯或ẏ²項計算錯誤導致加速度偏大。

逐步微分計算流程

步驟	數學操作	結果
原方程	x²/4 - y² = 3	—
一階對t微分	(2x·ẋ)/4 - 2y·ẏ = 0 → x·ẋ/2 = 2y·ẏ	ẏ = xẋ/(4y)
代入(4,1),ẋ=4	ẏ = 4×4/(4×1)	ẏ = 4 m/s
速度大小	v = √(ẋ²+ẏ²) = √(16+16)	v ≈ 5.657 m/s ✓
二階對t微分	(ẋ²+x·ẍ)/2 - 2(ẏ²+y·ÿ) = 0，ẍ=0(等速)	8 - 2(16+ÿ) = 0
解ÿ	8 - 32 - 2ÿ = 0 → -2ÿ = 24	ÿ = -12 m/s²
加速度大小	a = √(ẍ²+ÿ²) = √(0+144)	a = 12 m/s² ✓

陷阱提醒

最常見陷阱：二階微分時忘記將 ẏ²（速度平方項）納入計算。對 x·ẋ/2 - 2y·ẏ = 0 再微分時，y·ẏ 的微分應為 ẏ²+y·ÿ，漏掉ẏ²=16這項會導致ÿ算出-8，進而得到錯誤加速度8 m/s²（對應選項C的陷阱）。