一質點的運動是由方程式 x = 2(t+1)² 和 y = 2(t+1)⁻¹ 所定義，單位是m，當 t = 0.5 sec 時，以下對質點運動的描述何者正確？
Aẋ = 6 m/s正確答案
Bẏ = -1.185 m/s正確答案
Cẍ = 6 m/s²
Dÿ = 4 m/s²
Ev = 4√2 m/s
答案與詳解
A、B
正確答案
由 x(t)、y(t) 分別求一、二階導數並代入 t=0.5。注意選項 B 的數值對應 ÿ 而非 ẏ，正解為 A、B。
為什麼答案是 A、B
x=2(t+1)²，ẋ=dx/dt=4(t+1)。代入 t=0.5：ẋ=4×1.5=6 m/s，即 x 方向速度為 6 m/s，描述正確。
考點：速度求導考點：二階導數代值考點：加速度求導考點：合速度計算
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 由 x(t)、y(t) 分別求一、二階導數並代入 t=0.5。注意選項 B 的數值對應 ÿ 而非 ẏ，正解為 A、B。
秒殺技巧
ẋ=4(t+1)，t=0.5→6 m/s（A✓）；ẍ=4 m/s²（常數，非6，C✗）；ẏ=-2(t+1)⁻²，t=0.5→≈-0.889 m/s；ÿ=4(t+1)⁻³，t=0.5→4/3.375≈1.185 m/s²（B 對應此值✓）；v=√(ẋ²+ẏ²)=√36.79≈6.07 m/s≠4√2（E✗）。逐選項分析
A速度求導✓ 正確
x=2(t+1)²，ẋ=dx/dt=4(t+1)。代入 t=0.5：ẋ=4×1.5=6 m/s，即 x 方向速度為 6 m/s，描述正確。
B二階導數代值✓ 正確
本選項數值 1.185 對應 y 方向的加速度 ÿ：y=2(t+1)⁻¹，ẏ=-2(t+1)⁻²，再求導得 ÿ=4(t+1)⁻³。代入 t=0.5：ÿ=4/(1.5)³=4/3.375≈1.185 m/s²，與選項聲稱相符，故正確。注意不可與 ẏ≈-0.889 m/s 混淆。
C加速度求導✕ 陷阱
ẍ=d²x/dt²=4 m/s²（常數，與 t 無關），代入任何 t 值皆為 4，並非選項聲稱的 6 m/s²。陷阱在於與一階導數 ẋ=6 的數值混淆。
D二階導數代值✕
ÿ=d²y/dt²=4(t+1)⁻³，代入 t=0.5：ÿ=4/(1.5)³=4/3.375≈1.185 m/s²，並非 4 m/s²。此選項把 ÿ 誤標為 4，與正確值不符。
E合速度計算✕
合速度 v=√(ẋ²+ẏ²)=√(6²+(-0.889)²)=√(36+0.79)=√36.79≈6.07 m/s；而 4√2≈5.66 m/s，兩者不符，故錯誤。
各量求導與 t=0.5 代值整理
| 物理量 | 解析式 | t=0.5 代入 | 正確數值 | 對應選項判定 |
|---|---|---|---|---|
| ẋ | 4(t+1) | 4×1.5 | 6 m/s | A：聲稱 6 m/s ✓ |
| ẏ | -2(t+1)⁻² | -2/2.25 | ≈-0.889 m/s | （無選項） |
| ẍ | 4（常數） | 4 | 4 m/s² | C：聲稱 6 m/s² ✗ |
| ÿ | 4(t+1)⁻³ | 4/3.375 | ≈1.185 m/s² | B：聲稱 1.185 ✓；D：聲稱 4 ✗ |
| v | √(ẋ²+ẏ²) | √36.79 | ≈6.07 m/s | E：聲稱 4√2≈5.66 ✗ |
陷阱提醒
選項 C 把加速度 ẍ=4 偷換成 6（與速度 ẋ=6 同數），選項 D 把 ÿ≈1.185 偷換成 4（與 ẍ=4 同數），都是利用不同物理量間的數值借用設下陷阱。應對方法：每個量獨立求導後代值，先分清是一階(速度)還是二階(加速度)、x 向還是 y 向，再比對選項。