國營聯招 機械應用力學、材料力學101 年第 28 題單選題
一板件受外力作用後，其三方向之應變均為ε，其體積應變為何？
D正確答案
三軸應變均為ε時，體積應變 = εx+εy+εz = ε+ε+ε = 3ε（小應變假設下的線性疊加）
為什麼答案是 D
體積應變 e = εx+εy+εz = ε+ε+ε = 3ε，為小應變理論下正確的線性疊加結果，符合材料力學基本定義。
考點：體積應變定義誤用考點：無效干擾選項考點：遺漏第三軸考點：體積應變線性疊加
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 三軸應變均為ε時，體積應變 = εx+εy+εz = ε+ε+ε = 3ε（小應變假設下的線性疊加）
體積應變 e = εx+εy+εz，三方向相同都是ε，直接相加得 3ε，選D。注意不是相乘！
逐選項分析
A體積應變定義誤用✕ 陷阱
ε³是將三方向應變相乘，這是錯誤概念。體積應變在小應變假設下是三個正向應變的『相加』，不是相乘。
B無效干擾選項✕
6ε²無對應的力學意義，可能混淆了剪應變或其他公式，與體積應變定義不符。
C遺漏第三軸✕
2ε只是兩個方向應變的總和，忽略了第三個方向（z方向）的應變貢獻，計算不完整。
D體積應變線性疊加✓ 正確
體積應變 e = εx+εy+εz = ε+ε+ε = 3ε，為小應變理論下正確的線性疊加結果，符合材料力學基本定義。
體積應變公式整理
| 情況 | 公式 | 結果 |
|---|
| 三軸應變均為ε | e = εx+εy+εz = ε+ε+ε | 3ε ✅ |
| 一般三軸不同 | e = εx+εy+εz | 各值相加 |
| 等向材料靜水壓力 | e = (1-2ν)·σ_hydro × 3/E | 依材料參數 |
| 錯誤：三軸相乘 | e ≠ εx×εy×εz | ε³ ❌ |
最大陷阱是選項A的ε³，直覺上「體積 = 長×寬×高」讓人誤以為體積應變應將三軸應變相乘。但材料力學小應變理論中，體積應變定義為三個正向應變的『線性加總』，相乘是大應變的精確表達式，小應變下高次項可忽略，必須用加法。 
