國營聯招 機械應用力學、材料力學101 年第 57 題單選題
承第56題，求(c)與(a)情況應變能之比例為何？
D正確答案
扭矩、長度、材料相同但截面不同時，因應變能 U 反比於極慣性矩 J，空心軸(c)與實心軸(a)的應變能比值約為0.2倍。
為什麼答案是 D
正確。U_c/U_a = J_a/J_c。依第56題設定，空心軸極慣性矩 J_c 約為實心軸 J_a 的5倍，故比值 = J_a/J_c = 1/5 = 0.2倍。空心軸 J 較大，剛性高、儲存的應變能反而較小。
考點：應變能比較考點：比值方向判斷考點：比值數值錯誤考點：極慣性矩與應變能
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完整詳解
Pro · 無限重點 扭矩、長度、材料相同但截面不同時，因應變能 U 反比於極慣性矩 J，空心軸(c)與實心軸(a)的應變能比值約為0.2倍。
由應變能 U = T²L/(2GJ)，當 T、L、G 皆相同時，U 反比於 J。故 U_c/U_a = J_a/J_c。依第56題設定空心軸 J_c 約為實心軸 J_a 的5倍，故比值 = 1/5 = 0.2。
逐選項分析
A應變能比較✕ 陷阱
選1表示兩軸應變能相等，這只有在 J 相同時才成立。本題空心軸與實心軸的極慣性矩明顯不同，故比值不可能為1，屬誤判截面影響的陷阱。
B比值方向判斷✕
選4表示空心軸應變能為實心軸的4倍。但空心軸 J 較大，依 U∝1/J 應變能應更小才對，比值方向相反，且數值與實際 J 比不符。
C比值數值錯誤✕
選2同樣方向錯誤（誤認空心軸應變能較大），且數值2與正確的 J_a/J_c=1/5 不符。
D極慣性矩與應變能✓ 正確
正確。U_c/U_a = J_a/J_c。依第56題設定，空心軸極慣性矩 J_c 約為實心軸 J_a 的5倍，故比值 = J_a/J_c = 1/5 = 0.2倍。空心軸 J 較大，剛性高、儲存的應變能反而較小。
扭轉應變能關鍵公式對照
| 項目 | 公式 | 說明 |
|---|
| 扭轉應變能 | U = T²L / (2GJ) | T扭矩、L長度、G剪力模數、J極慣性矩 |
| 實心圓軸 J | J_a = πd⁴/32 | 直徑為 d |
| 空心圓軸 J | J_c = π(d_o⁴ - d_i⁴)/32 | 外徑 d_o、內徑 d_i |
| 應變能比值 | U_c/U_a = J_a/J_c | T、L、G 相同時 U 反比於 J |
考生常誤以為空心軸「材料較少」所以應變能應更大（類比彈簧），但扭轉應變能 U∝1/J，空心軸 J 反而更大，故應變能更小。注意「應變能大」代表變形多、儲能多，與「強度好」不同概念。 
