國營聯招 機械應用力學、材料力學101 年第 37 題單選題
邊長為a之正方形，其對文軸之慣性矩為：(設X,Y為正方形之形心軸)
Aa⁴/6
Ba⁴/12
Ca⁴/3正確答案
Da⁴/4
C正確答案
正方形具旋轉對稱性，通過形心的任意軸慣性矩皆相等，均為 a⁴/12，因此對角軸慣性矩也是 a⁴/12，選 C。
為什麼答案是 C
正方形對形心水平軸 Ix = a⁴/12、垂直軸 Iy = a⁴/12，兩者相等。由轉軸公式 Iu = (Ix+Iy)/2 + (Ix−Iy)/2·cos2θ − Ixy·sin2θ，因 Ix = Iy 且形心軸對稱使 Ixy = 0，故 Iu = (Ix+Iy)/2 = a⁴/12，與旋轉角度無關。對角軸即 θ = 45° 之軸，結果仍為 a⁴/12，故選 C。
考點：極慣性矩考點：錯誤選項考點：對角軸慣性矩考點：平行軸定理
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 正方形具旋轉對稱性，通過形心的任意軸慣性矩皆相等，均為 a⁴/12，因此對角軸慣性矩也是 a⁴/12，選 C。
正方形對形心水平軸 Ix = bh³/12 = a·a³/12 = a⁴/12；對形心垂直軸 Iy = a⁴/12。由莫爾圓概念，當 Ix = Iy 時慣性矩莫爾圓退化為一點，故過形心任意角度的軸（含對角軸）慣性矩都相同，皆為 a⁴/12，答案 C。
逐選項分析
A極慣性矩✕
a⁴/6 是正方形對形心的極慣性矩 J₀ = Ix + Iy = a⁴/12 + a⁴/12 = a⁴/6，是兩個形心軸慣性矩之和，並非單一對角軸的慣性矩，故錯誤。
B錯誤選項✕
a⁴/24 不符合任何標準軸的計算結果，可能由誤用係數（如把 12 寫成 24，或誤套三角形公式 bh³/36 的變形）所得，為錯誤干擾值。
C對角軸慣性矩✓ 正確
正方形對形心水平軸 Ix = a⁴/12、垂直軸 Iy = a⁴/12，兩者相等。由轉軸公式 Iu = (Ix+Iy)/2 + (Ix−Iy)/2·cos2θ − Ixy·sin2θ，因 Ix = Iy 且形心軸對稱使 Ixy = 0，故 Iu = (Ix+Iy)/2 = a⁴/12，與旋轉角度無關。對角軸即 θ = 45° 之軸，結果仍為 a⁴/12，故選 C。
D平行軸定理✕
a⁴/3 是正方形對其『底邊軸』（非形心軸）的慣性矩，由平行軸定理 I底邊 = Ix + A·d² = a⁴/12 + a²·(a/2)² = a⁴/3 求得；本題問的是過形心的對角軸，故 D 錯誤。
正方形慣性矩整理（邊長 a）
| 軸別 | 公式 | 結果 | 說明 |
|---|
| 形心水平軸 Ix | bh³/12 | a⁴/12 | 最常用公式 |
| 形心垂直軸 Iy | hb³/12 | a⁴/12 | 對稱故相等 |
| 形心對角軸 I_diag | (Ix+Iy)/2（Ix=Iy） | a⁴/12 | 本題答案 |
| 極慣性矩 J₀ | Ix + Iy | a⁴/6 | 兩形心軸之和（選項A） |
| 底邊軸 | Ix + A·d²，d=a/2 | a⁴/3 | 平行軸定理（選項D） |
本題「對角軸」是通過形心的 45° 對角線軸。關鍵觀念是正方形 Ix = Iy，使其慣性矩莫爾圓退化為一點，故過形心任意方向的軸慣性矩皆相同（a⁴/12）。考生易誤選極慣性矩 a⁴/6（選A）或底邊軸 a⁴/3（選D），須先判斷軸是否通過形心、是單軸還是兩軸之和。 
