如右圖所示，有一長度為L之懸臂梁，其楊氏模數為E，慣性矩為I，在自由端受到集中載重P與彎矩MO作用，若忽略剪力之影響，則此梁之應變能為何？
A(A)式正確答案
B(B)式
C(C)式
D(D)式
答案與詳解
A
正確答案
懸臂梁自由端受集中力P與彎矩M₀，內部彎矩M(x)=Px+M₀，用能量積分U=∫M²/(2EI)dx展開即得應變能。
為什麼答案是 A
正確展開：U=(P²L³)/(6EI)+(PM₀L²)/(2EI)+(M₀²L)/(2EI)，三項分別對應P²、交叉項PM₀、M₀²，係數皆正確。
考點：彎矩能量法考點：漏交叉項考點：積分係數錯考點：符號誤用
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 懸臂梁自由端受集中力P與彎矩M₀，內部彎矩M(x)=Px+M₀，用能量積分U=∫M²/(2EI)dx展開即得應變能。
秒殺技巧
先寫彎矩式M(x)=Px+M₀（以自由端為原點），代入U=∫₀ᴸ M²dx/(2EI)展開三項即可對答案。逐選項分析
A彎矩能量法✓ 正確
正確展開：U=(P²L³)/(6EI)+(PM₀L²)/(2EI)+(M₀²L)/(2EI)，三項分別對應P²、交叉項PM₀、M₀²，係數皆正確。
B漏交叉項✕ 陷阱
通常漏掉交叉項PM₀L²/(2EI)，誤把應變能當成兩載重能量的直接相加，忽略了平方展開的耦合項。
C積分係數錯✕ 陷阱
係數錯誤，常見錯誤為將P²L³項係數寫成1/(3EI)或1/(2EI)，積分結果不對。
D符號誤用✕
交叉項符號或係數錯誤，或誤用M(x)=Px-M₀導致符號相反，與題設同向作用不符。
懸臂梁自由端受P與M₀之應變能推導
| 步驟 | 內容 |
|---|---|
| 設座標 | 以自由端為原點x向固定端，距離x處 |
| 彎矩式 | M(x)=Px+M₀ |
| 能量公式 | U=∫₀ᴸ [M(x)]²/(2EI) dx |
| 展開平方 | M²=P²x²+2PM₀x+M₀² |
| 逐項積分 | ∫x²dx=L³/3, ∫x dx=L²/2, ∫dx=L |
| 最終結果 | U=P²L³/(6EI)+PM₀L²/(2EI)+M₀²L/(2EI) |
陷阱提醒
本題最大陷阱是應變能不能對各載重「分別計算再相加」。因為應變能與內力平方成正比，M(x)=Px+M₀平方後會產生交叉項2PM₀x，積分後得到PM₀L²/(2EI)。若學生誤以為能量可線性疊加而漏掉此項，就會選到B。記住：位移可疊加，但應變能不可直接疊加。