國營聯招 機械應用力學、材料力學113 年第 4 題單選題
如右圖所示，有一長度L之懸臂梁於自由端受集中荷重P作用，產生撓度δ；則同樣斷面梁長為2L時，欲使自由端撓度為2δ，試求荷重P為多少倍？
A1 / 4 倍正確答案
B1 / 2 倍
C2倍
D4倍
A正確答案
懸臂梁撓度公式為δ=PL³/3EI，長度變2倍則撓度變8倍，欲使撓度僅變2倍，荷重需降為1/4。
為什麼答案是 A
根據公式δ=PL³/3EI，L變2倍時L³變8倍。欲使δ僅變2倍，P需變為2/8=1/4倍。
考點：撓度比例計算考點：指數記憶錯誤考點：比例關係顛倒考點：計算方向錯誤
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完整詳解
Pro · 無限重點 懸臂梁撓度公式為δ=PL³/3EI，長度變2倍則撓度變8倍，欲使撓度僅變2倍，荷重需降為1/4。
撓度與長度三次方成正比。長度變2倍(撓度變8倍)，目標撓度為2倍，故荷重需乘 2/8 = 1/4。
逐選項分析
A撓度比例計算✓ 正確
根據公式δ=PL³/3EI，L變2倍時L³變8倍。欲使δ僅變2倍，P需變為2/8=1/4倍。
B指數記憶錯誤✕ 陷阱
誤以為撓度與長度平方成正比，或計算比例時出錯，誤將8倍記為4倍而選1/2。
C比例關係顛倒✕ 陷阱
誤將長度比例與撓度比例直接反轉，或忘記三次方關係，誤選2倍。
D計算方向錯誤✕
誤以為長度變2倍撓度變4倍，或計算時將分子分母顛倒，誤選4倍。
懸臂梁自由端受集中荷重之變形公式
| 變形類型 | 公式 | 與長度L之關係 |
|---|
| 最大撓度(自由端) | δ = PL³ / 3EI | 正比於 L³ |
| 最大傾角(自由端) | θ = PL² / 2EI | 正比於 L² |
考生常忘記撓度與長度的「三次方」成正比，誤記為一次方或二次方。若誤記為二次方，會算出P變為2/4=1/2倍而錯選B。務必熟記公式中的指數關係。 
