國營聯招 機械應用力學、材料力學113 年第 5 題單選題
如右圖所示之均勻懸臂梁，該梁斷面之慣性矩為I，楊氏模數為E，若於其自由端施加集中載重P及彎矩PL，只考慮撓曲變位，試問自由端B處之垂直變位為何？
A$\frac{PL^3}{6EI}$ 向上正確答案
B$\frac{PL^3}{3EI}$ 向上
C$\frac{PL^3}{6EI}$ 向下
D$\frac{PL^3}{3EI}$ 向下
A正確答案
懸臂梁自由端受集中載重P與彎矩PL，利用疊加原理計算變位，兩者方向相反抵銷後淨變位為PL³/6EI向上。
為什麼答案是 A
正確答案。集中載重P造成向下變位δ₁=PL³/3EI；彎矩M=PL造成向上變位δ₂=ML²/2EI=PL³/2EI。疊加後淨變位δ=δ₂−δ₁=PL³/2EI−PL³/3EI=PL³/6EI，方向向上。
考點：疊加原理考點：單一載重誤用考點：方向誤判考點：數值方向雙誤
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 懸臂梁自由端受集中載重P與彎矩PL，利用疊加原理計算變位，兩者方向相反抵銷後淨變位為PL³/6EI向上。
記住懸臂梁公式：端點力P向下變位PL³/3EI；端點彎矩M=PL向上變位PL²/2EI×L/3？錯！正確為M L²/2EI。代入M=PL得PL³/2EI向上，減去PL³/3EI向下，淨結果PL³/6EI向上。
逐選項分析
A疊加原理✓ 正確
正確答案。集中載重P造成向下變位δ₁=PL³/3EI；彎矩M=PL造成向上變位δ₂=ML²/2EI=PL³/2EI。疊加後淨變位δ=δ₂−δ₁=PL³/2EI−PL³/3EI=PL³/6EI，方向向上。
B單一載重誤用✕ 陷阱
此數值PL³/3EI僅為集中載重P單獨作用之向下變位量，未扣除彎矩PL所產生之向上變位，忽略疊加效應，屬常見漏算陷阱。
C方向誤判✕ 陷阱
數值雖與正解相同，但方向標註為向下錯誤。因彎矩PL產生之向上變位大於載重P之向下變位，淨變位必向上，方向判斷失誤即錯。
D數值方向雙誤✕
數值PL³/3EI為僅考慮P載重之變位，且方向誤標為向下（實際P確實向下，但未疊加彎矩影響）。同時數值與方向皆不符疊加後結果，雙重錯誤。
懸臂梁自由端變位公式對照
| 載重類型 | 變位公式 | 方向 | 備註 |
|---|
| 集中載重 P | PL³/3EI | 向下 | 作用於自由端 |
| 端點彎矩 M | ML²/2EI | 依彎矩方向 | M=PL時為PL³/2EI |
| 疊加結果 (本題) | PL³/6EI | 向上 | M效應 > P效應 |
考生常誤記彎矩變位公式為ML³/3EI或忽略方向性。務必區分：力產生L³項、彎矩產生L²項；且彎矩PL代入後量級更大，主導最終變位方向向上，不可憑直覺認為載重一定導致向下變位。 
