國營聯招 機械應用力學、材料力學113 年第 36 題單選題
如右圖所示，梁受載重後靜撓度為 δst，若忽略梁之質量，且假設負荷與梁保持接觸，則系統之振動頻率f為何？
A$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\delta_{st}}{g}}$
B$2\pi\sqrt{\frac{g}{\delta_{st}}}$
C$2\pi\sqrt{\frac{\delta_{st}}{g}}$
D$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\delta_{st}}}$正確答案
D正確答案
單自由度系統自然頻率公式：f = (1/2π)√(g/δst)，靜撓度在分母、重力加速度在分子。
為什麼答案是 D
正確公式。由單自由度系統 ωn=√(k/m) 與靜撓度 δst=mg/k 推導得 ωn=√(g/δst)，再除以 2π 轉換為頻率 f，量綱與物理意義皆正確。
考點：量綱錯誤考點：係數錯誤考點：雙重錯誤考點：自然頻率公式
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完整詳解
Pro · 無限重點 單自由度系統自然頻率公式：f = (1/2π)√(g/δst)，靜撓度在分母、重力加速度在分子。
口訣「g上δ下，2π在外」：頻率與靜撓度平方根成反比，直接選含 g/δst 且係數為 1/2π 者。
逐選項分析
A量綱錯誤✕ 陷阱
分子分母顛倒。此式量綱不正確（時間而非頻率），是將 g 與 δst 位置互換的常見錯誤選項，考場緊張時易誤選。
B係數錯誤✕ 陷阱
缺少 1/2π 係數且分子分母雖對但整體為角頻率 ωn 的 2π 倍形式混淆。正確角頻率應為 √(g/δst)，此選項多乘了 2π。
C雙重錯誤✕ 陷阱
同時犯兩個錯誤：分子分母顛倒（δst/g）且缺少 1/2π。此選項完全不符合自然頻率物理意義，屬干擾項。
D自然頻率公式✓ 正確
正確公式。由單自由度系統 ωn=√(k/m) 與靜撓度 δst=mg/k 推導得 ωn=√(g/δst)，再除以 2π 轉換為頻率 f，量綱與物理意義皆正確。
單自由度振動核心公式對照
| 物理量 | 符號 | 公式 | 備註 |
|---|
| 靜撓度 | δst | mg/k | 重力作用下的靜態位移 |
| 角頻率 | ωn | √(k/m) = √(g/δst) | 單位 rad/s |
| 自然頻率 | f | ωn/2π = (1/2π)√(g/δst) | 單位 Hz |
| 週期 | T | 1/f = 2π√(δst/g) | 完成一次振動時間 |
考生常混淆 ωn 與 f，或記錯 g 與 δst 的上下位置。記住：撓度越大系統越軟、頻率越低，故 δst 必在分母；f 是每秒次數，必須除以 2π 才能從角頻率轉換。 
