國營聯招 機械應用力學、材料力學114 年第 24 題單選題
如右圖所示，一繩索裹繞於半徑為r的圓柱體上，若圓柱體從靜止狀態被釋放，則當圓柱體下降距離達s時，其對圓心O點的角速度為何？
A√(3gs / 4r²)
B√(4gs / 3r²)正確答案
C√(2gs / r²)
D√(4gs / r²)
B正確答案
圓柱纏繩下落為溜溜球模型，利用能量守恆，位能等於平動與轉動動能總和，即可求出角速度。
為什麼答案是 B
正確。由能量守恆 mgs = 1/2 mv² + 1/2 Iω²，代入 v=ωr 與 I=1/2 mr²，解得 ω=√(4gs/3r²)。
考點：係數計算錯誤考點：能量守恆正確解考點：遺漏轉動動能考點：慣性矩記憶錯誤
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 圓柱纏繩下落為溜溜球模型，利用能量守恆，位能等於平動與轉動動能總和，即可求出角速度。
溜溜球模型！總動能係數為 1/2(平動)+1/4(轉動)=3/4。令 mgs = 3/4 m(ωr)²，移項即可秒解 ω。
逐選項分析
A係數計算錯誤✕
係數顛倒，可能是將動能與位能公式的分子分母搞錯，導致開根號內的結果相反。
B能量守恆正確解✓ 正確
正確。由能量守恆 mgs = 1/2 mv² + 1/2 Iω²，代入 v=ωr 與 I=1/2 mr²，解得 ω=√(4gs/3r²)。
C遺漏轉動動能✕ 陷阱
這是質點自由落體的結果。忘記加上圓柱體的轉動動能，誤以為只有平動動能，是常見陷阱。
D慣性矩記憶錯誤✕
可能是將圓柱體的轉動慣量誤記為 mr²，或是平動與轉動動能係數相加錯誤所導致的結果。
圓柱纏繩下落運動參數整理
| 物理量 | 公式 / 數值 |
|---|
| 轉動慣量 I | 1/2 mr² |
| 運動學關係 | v = ωr |
| 總動能 K | 3/4 mr²ω² |
| 角速度 ω | √(4gs / 3r²) |
本題最大陷阱在於忽略圓柱體的轉動動能。若只考慮平動動能，會誤選C。務必記住纏繞繩索下落時，繩索不滑動條件 v=ωr 成立，且必須同時計算平動與轉動動能。 
