國營聯招 機械應用力學、材料力學114 年第 44 題單選題
如右圖所示，一軸向桿件承受一軸力P作用，A點與C點均為鉸接，桿件在中點B處有側向支撐，已知桿件斷面之I = 8000 cm4，L = 5 m，彈性係數E = 2×106 kgf / cm2，若另一軸斷面不會發生挫屈，則其臨界挫屈載重Pcr為何？
A157.91 tf
B322.27 tf
C631.65 tf正確答案
D1289.09 tf
C正確答案
兩端鉸接、中點有側向支撐的桿件，挫屈長度取半跨(L/2=2.5m)，用Euler公式算出Pcr約631.65 tf。
為什麼答案是 C
有效長度Le=L/2=250cm，Pcr=π²EI/Le²=π²×2×10⁶×8000/250²≈631,650 kgf≈631.65 tf，正確。
考點：漏算側撐考點：係數誤用考點：半跨有效長度考點：長度過度縮短
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 兩端鉸接、中點有側向支撐的桿件，挫屈長度取半跨(L/2=2.5m)，用Euler公式算出Pcr約631.65 tf。
兩端鉸接k=1，但中點側撐使有效長度為半跨。Pcr=π²EI/(L/2)²，直接代入。
逐選項分析
A漏算側撐✕ 陷阱
用全長L=5m當有效長度算得約157.91 tf，忽略中點側向支撐把長度減半的效果。
B係數誤用✕
322.27 tf非正確解，可能為錯誤代值或係數誤用所得，不符本題支撐條件。
C半跨有效長度✓ 正確
有效長度Le=L/2=250cm，Pcr=π²EI/Le²=π²×2×10⁶×8000/250²≈631,650 kgf≈631.65 tf，正確。
D長度過度縮短✕ 陷阱
約為C的兩倍，可能誤把有效長度再取更短(如L/4)或係數重複計算，屬過度縮短長度。
Euler挫屈有效長度Le與臨界載重
| 支承條件 | 有效長度Le | Pcr公式 |
|---|
| 兩端鉸接 | L | π²EI/L² |
| 兩端鉸接+中點側撐 | L/2 | π²EI/(L/2)² |
| 一端固定一端自由 | 2L | π²EI/(2L)² |
| 兩端固定 | 0.5L | π²EI/(0.5L)² |
最容易的陷阱是直接用全長L=5m套Euler公式得到157.91 tf(選項A)。關鍵在於中點B有側向支撐，會強迫桿件在半跨處產生節點，使挫屈時的有效長度縮為L/2，臨界載重因與長度平方成反比而提升為4倍。務必看清支撐位置。 
