有兩位置向量P及Q，其中P為原點至(3, -8, 5)，Q為原點至(11, 1, n)，若兩位置向量互相垂直，則n值為何？
A-10
B-5正確答案
C5√2
D10√2
答案與詳解
B
正確答案
兩向量互相垂直時，其內積（點積）必為零，代入座標即可求出未知數。
為什麼答案是 B
正確。兩向量垂直代表內積為零，即(3)(11)+(-8)(1)+(5)(n)=0，計算得25+5n=0，故n=-5。
考點：計算錯誤考點：向量內積考點：公式誤用
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 兩向量互相垂直時，其內積（點積）必為零，代入座標即可求出未知數。
秒殺技巧
垂直即內積為0：3×11 + (-8)×1 + 5×n = 0，化簡得 25 + 5n = 0，解得 n = -5。逐選項分析
A計算錯誤✕
此為計算錯誤的干擾選項，可能是加減法或正負號處理時發生失誤導致得出錯誤數值。
B向量內積✓ 正確
正確。兩向量垂直代表內積為零，即(3)(11)+(-8)(1)+(5)(n)=0，計算得25+5n=0，故n=-5。
C公式誤用✕
此選項含有根號，通常是誤用了向量長度的計算公式或錯誤開根號所產生的干擾數值。
D公式誤用✕
與選項C相同，屬於誤用向量長度公式或計算過程出錯所產生的干擾數值，無物理意義。
向量運算核心公式與幾何意義
| 運算類型 | 數學表示式 | 幾何意義與特殊條件 |
|---|---|---|
| 內積 (點積) | A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2 | 結果為純量；兩向量垂直時，內積為0 |
| 外積 (叉積) | A×B = |A||B|sinθ n̂ | 結果為向量；兩向量平行時，外積為0 |
陷阱提醒
考生常混淆垂直與平行的判斷條件。垂直看內積為零，平行看外積為零或座標成比例。本題指明互相垂直，必須使用內積公式求解，切勿誤用外積或長度公式。