一平面應力元素承受應力值 $\sigma_{x}=100\ MPa,\quad\sigma_{y}=34\ MPa,\quad\tau_{xy}=28\ MPa$ ，如圖示。請問最大主應力值為多少？
A50 MPa
B40 MPa
C500 MPa
D110 MPa正確答案
答案與詳解
D
正確答案
平面應力主應力公式：σ₁,₂ = (σx+σy)/2 ± √[((σx-σy)/2)² + τxy²]，代入數值求最大主應力為110 MPa。
為什麼答案是 D
σ₁=(100+34)/2+√[((100-34)/2)²+28²]=67+√(33²+28²)=67+√(1089+784)=67+√1873≈67+43.3≈110 MPa，正確。
考點：計算錯誤考點：單位/數量級混淆考點：主應力公式
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完整詳解
Pro · 無限重點 平面應力主應力公式：σ₁,₂ = (σx+σy)/2 ± √[((σx-σy)/2)² + τxy²]，代入數值求最大主應力為110 MPa。
秒殺技巧
平均應力=(100+34)/2=67；半徑R=√[(33)²+(28)²]=√[1089+784]=√1873≈43.3；最大主應力=67+43.3≈110 MPa，選D。逐選項分析
A計算錯誤✕
50 MPa 遠小於平均應力67 MPa，不可能是最大主應力，可能誤算公式或數值。
B計算錯誤✕
40 MPa 甚至小於σy=34 MPa，完全不合理，屬嚴重誤算。
C單位/數量級混淆✕ 陷阱
500 MPa 為數量級混淆的陷阱選項，可能誤將MPa與kPa等混淆或計算時多乘10倍。
D主應力公式✓ 正確
σ₁=(100+34)/2+√[((100-34)/2)²+28²]=67+√(33²+28²)=67+√(1089+784)=67+√1873≈67+43.3≈110 MPa，正確。
平面應力主應力公式拆解
| 符號 | 數值 | 說明 |
|---|---|---|
| σx | 100 MPa | x方向正應力 |
| σy | 34 MPa | y方向正應力 |
| τxy | 28 MPa | 剪應力 |
| 平均應力 σavg | (100+34)/2 = 67 MPa | 莫爾圓圓心 |
| 半徑 R | √(33²+28²)=√1873≈43.3 MPa | 莫爾圓半徑 |
| 最大主應力 σ₁ | 67+43.3 ≈ 110 MPa | 答案 |
| 最小主應力 σ₂ | 67−43.3 ≈ 23.7 MPa | 供參考 |
陷阱提醒
考生常將『最大剪應力』與『最大主應力』混淆：最大剪應力τmax=R≈43.3 MPa，而最大主應力σ₁=σavg+R≈110 MPa。另需注意半徑計算用(σx−σy)/2而非(σx−σy)，少除以2是最常見失分點。