國營聯招 機械應用力學、材料力學100 年第 50 題單選題
與上題相同情形，但圓筒改為圓環時，滾到B處時之速度為何？
A0.314(2gh)^(1/2)
B0.816(2gh)^(1/2)
C0.845(2gh)^(1/2)
D0.707(2gh)^(1/2)正確答案
D正確答案
圓環從斜面滾下，利用能量守恆（平移+旋轉動能），圓環轉動慣量I=mr²，求底部速度約為0.707√(2gh)。
為什麼答案是 D
圓環I=mr²，能量守恆：mgh=½mv²+½mr²(v/r)²=mv²，故v=√(gh)=(1/√2)√(2gh)=0.707√(2gh)，正確。
考點：無效干擾項考點：圓柱混淆考點：實心球混淆考點：圓環滾動能量守恆
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完整詳解
Pro · 無限重點 圓環從斜面滾下，利用能量守恆（平移+旋轉動能），圓環轉動慣量I=mr²，求底部速度約為0.707√(2gh)。
圓環I=mr²，代入能量守恆mgh=½mv²+½Iω²，ω=v/r，得v=√(gh)=√(1/2·2gh)=0.707√(2gh)，選D。
逐選項分析
A無效干擾項✕
0.314≈1/π，無對應物理意義，並非圓環滾動的標準結果。
B圓柱混淆✕ 陷阱
0.816≈√(2/3)，對應的是實心圓柱體(I=½mr²)的滾動結果，與圓環不符。
C實心球混淆✕ 陷阱
0.845≈√(5/7)，對應的是實心球體(I=2/5·mr²)的滾動結果，非圓環。
D圓環滾動能量守恆✓ 正確
圓環I=mr²，能量守恆：mgh=½mv²+½mr²(v/r)²=mv²，故v=√(gh)=(1/√2)√(2gh)=0.707√(2gh)，正確。
各形狀物體從高度h斜面純滾動至底部速度比較
| 物體形狀 | 轉動慣量I | 速度係數k（v=k√(2gh)） | 數值 |
|---|
| 薄圓環（空心圓筒） | mr² | 1/√2 | 0.707 |
| 實心圓柱 | ½mr² | √(2/3) | 0.816 |
| 實心球 | 2/5·mr² | √(5/7) | 0.845 |
| 空心球（薄壁） | 2/3·mr² | √(3/5) | 0.775 |
「圓筒」（實心或空心圓柱）與「圓環」（薄壁環，所有質量視為集中在半徑r處）的轉動慣量截然不同。本題與上題的差異就在此：上題為圓筒（I=½mr²），本題改為圓環（I=mr²），旋轉動能更大，平移速度因此更小。考生最容易誤用圓柱公式。 
