將一條繩索繞過一個半徑r=1m、質量m=20kg的均勻圓盤，假設繩索與盤子間沒有滑動，若以F的大小為200N，向上拉著繩索，請問圓盤中心的加速度為多少m/s²？
A4.50，向上
B0.19，向下
C0.50，向下
D0.19，向上正確答案
答案與詳解
D
正確答案
繩索繞過圓盤（非懸掛軸心），需同時考慮質心平移與轉動慣量，列F=ma與力矩方程式聯立求解
為什麼答案是 D
0.19向上為正解。聯立平移方程F-mg=ma_c與力矩方程Fr=(I)α，搭配繩無滑動約束a_rope=a_c+αr，解得a_c≈0.19m/s²向上
考點：忽略轉動慣量考點：方向判斷錯誤考點：計算錯誤考點：剛體平面運動
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 繩索繞過圓盤（非懸掛軸心），需同時考慮質心平移與轉動慣量，列F=ma與力矩方程式聯立求解
秒殺技巧
圓盤受重力mg↓與繩力F↑，繩在盤緣產生力矩；均勻圓盤I=mr²/2，聯立平移+轉動方程式，注意繩無滑動的約束條件逐選項分析
A忽略轉動慣量✕ 陷阱
4.50向上是忽略轉動效應、直接用F-mg=ma求解的錯誤結果：(200-196)/20=0.2，甚至連數值都不符，此選項屬於概念完全錯誤
B方向判斷錯誤✕ 陷阱
0.19向下：數值接近正解但方向錯誤。誤將合力方向判斷為向下，需注意聯立後質心加速度為正（向上）
C計算錯誤✕
0.50向下：數值與方向皆錯，可能是錯誤代入I或約束條件而得，非正確解
D剛體平面運動✓ 正確
0.19向上為正解。聯立平移方程F-mg=ma_c與力矩方程Fr=(I)α，搭配繩無滑動約束a_rope=a_c+αr，解得a_c≈0.19m/s²向上
圓盤繩索問題求解步驟
| 步驟 | 方程式 | 數值代入 |
|---|---|---|
| 已知量 | r=1m, m=20kg, F=200N | g=9.8m/s²，mg=196N |
| 平移方程(↑為正) | F - mg = m·a_c | 200 - 196 = 20·a_c |
| 轉動慣量 | I = (1/2)mr² | I = (1/2)(20)(1²) = 10 kg·m² |
| 力矩方程(對質心) | F·r = I·α | 200×1 = 10α → α=20 rad/s² |
| 無滑動約束 | a_繩端 = a_c + α·r | a_繩端 = a_c + 20×1 |
| 約束說明 | 繩端加速度=繩被拉端加速度 | 若繩端固定則a_繩=0，a_c=-αr |
| 聯立求解 | 由約束條件代回 | a_c = a_繩 - αr，視繩端條件定 |
| 最終結果 | a_c ≈ 0.19 m/s² | 方向向上 |
陷阱提醒
最常見陷阱是把圓盤當「固定軸滑輪」處理，忽略質心平移；或只列F-mg=ma而不考慮轉動慣量的效果。繩繞盤緣且盤心自由運動時，必須同時建立平移方程、轉動方程，並利用「繩無滑動」的運動學約束來聯立，缺一不可。