國營聯招 機械應用力學、材料力學100 年第 56 題單選題
一空心圓軸設計以1.75 Hz轉速來傳遞120 kW。軸內徑為外徑的一半。若容許剪應力為45 MPa，試求所需之最小外徑d約為多少mm？
C正確答案
空心圓軸傳遞功率問題：由功率求扭矩，再由容許剪應力求最小外徑，內徑=外徑/2是關鍵條件。
為什麼答案是 C
計算流程：ω=2π×1.75≈10.996 rad/s，T=P/ω=120000/10.996≈10913 N·m；Ip=15πd⁴/512；τ=T(d/2)/Ip=T×512/(15πd³)=45×10⁶，解得d≈0.1097m≈110mm，正確答案。
考點：截面不足考點：尺寸過小考點：空心軸設計考點：過度設計
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 空心圓軸傳遞功率問題：由功率求扭矩，再由容許剪應力求最小外徑，內徑=外徑/2是關鍵條件。
T=P/ω，ω=2π×1.75；空心軸Ip=π/32×(d⁴-(d/2)⁴)=15πd⁴/512；τ=T×(d/2)/Ip，代入求d≈110mm。
逐選項分析
A截面不足✕ 陷阱
d=50mm時，空心軸截面慣性矩太小，無法承受計算所得扭矩，剪應力會遠超45MPa，此為數量級估算錯誤的陷阱。
B尺寸過小✕
d=40mm更小，承載能力更不足，明顯低估所需尺寸，計算結果完全不符合。
C空心軸設計✓ 正確
計算流程：ω=2π×1.75≈10.996 rad/s，T=P/ω=120000/10.996≈10913 N·m；Ip=15πd⁴/512；τ=T(d/2)/Ip=T×512/(15πd³)=45×10⁶，解得d≈0.1097m≈110mm，正確答案。
D過度設計✕
d=200mm遠大於所需，設計過於保守浪費材料，與「最小外徑」要求不符。
空心圓軸傳動設計計算步驟
| 步驟 | 公式 | 本題數值 |
|---|
| ①求角速度 | ω = 2πn (rad/s) | ω = 2π×1.75 ≈ 10.996 rad/s |
| ②求扭矩 | T = P / ω | T = 120,000 / 10.996 ≈ 10,913 N·m |
| ③極慣性矩(空心) | Ip = π(d_o⁴ - d_i⁴)/32，d_i=d_o/2 | Ip = π×(d⁴ - (d/2)⁴)/32 = 15πd⁴/512 |
| ④剪應力公式 | τ = T×c / Ip，c = d/2 | τ = T×(d/2) / (15πd⁴/512) = 512T/(15πd³) |
| ⑤求最小外徑 | d³ = 512T / (15π×τ_allow) | d³ = 512×10913/(15π×45×10⁶) ≈ 1.322×10⁻³ m³，d ≈ 0.110 m = 110 mm |
最常見錯誤：忘記內徑=外徑/2時，d_i⁴=(d_o/2)⁴=d_o⁴/16，因此Ip=π/32×(d_o⁴ - d_o⁴/16)=π/32×(15/16)d_o⁴=15πd_o⁴/512。若誤用實心軸公式Ip=πd⁴/32，會得到偏小的d值（約選到A或B），落入陷阱。 
