【承上題前情】 一般傳動軸在傳動時，其危險截面之應力狀態為何種載重所產生應力之組合？ 承上題，若該懸臂樑長度變為原來的10倍時，其勁度變為原來的多少倍？（即挫屈相對變化）
A10
B20
C30
D120正確答案
答案與詳解
D
正確答案
懸臂樑端點勁度 k=3EI/L³，與長度立方成反比。長度變為原來10倍時，k'=k/10³=k/1000，即勁度變為原來的1/1000倍，對應選項D。
為什麼答案是 D
正確答案。由 k=3EI/L³，當長度變10倍時 k'=3EI/(10L)³=k/1000，勁度確實變為原來的1/1000倍，符合長度立方反比關係。
考點：線性與立方反比混淆考點：立方項漏算考點：錯誤數量級考點：懸臂樑勁度立方反比
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 懸臂樑端點勁度 k=3EI/L³，與長度立方成反比。長度變為原來10倍時，k'=k/10³=k/1000，即勁度變為原來的1/1000倍，對應選項D。
秒殺技巧
懸臂樑自由端集中載重撓度 δ=PL³/3EI，勁度 k=P/δ=3EI/L³。當 L→10L 時，k'=3EI/(10L)³=3EI/1000L³=k/1000。故勁度變為原來的1/1000倍，選D。逐選項分析
A線性與立方反比混淆✕ 陷阱
若誤把勁度當成與長度成線性反比（k∝1/L），則答案為1/10倍。此為忽略撓度公式中L³項所致，是常見陷阱。
B立方項漏算✕ 陷阱
若誤以為勁度與長度平方成反比（k∝1/L²），會得到1/100倍。但懸臂樑端點撓度含L³項，勁度應為1/L³，故此選項錯誤。
C錯誤數量級✕
1/500等非整數冪次結果無法由標準懸臂樑勁度公式 k=3EI/L³ 推導而得，不符合L³反比關係，排除。
D懸臂樑勁度立方反比✓ 正確
正確答案。由 k=3EI/L³，當長度變10倍時 k'=3EI/(10L)³=k/1000，勁度確實變為原來的1/1000倍，符合長度立方反比關係。
懸臂樑勁度與長度關係整理
| 項目 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 自由端撓度 | δ = PL³ / 3EI | 集中載重P作用於懸臂樑自由端 |
| 端點勁度 | k = P/δ = 3EI / L³ | 勁度與長度立方成反比 |
| 長度變2倍 | k' = k / 2³ = k / 8 | 勁度縮為原來的1/8 |
| 長度變10倍 | k' = k / 10³ = k / 1000 | 勁度縮為原來的1/1000（本題答案） |
| 截面慣性矩 | I = bh³/12（矩形） | EI愈大勁度愈大，長度不變時與I成正比 |
陷阱提醒
本題最易犯的錯誤是搞混勁度與長度的冪次關係。懸臂樑自由端撓度 δ=PL³/3EI 含 L³ 項，故勁度 k=3EI/L³ 與長度立方成反比。長度變10倍時，勁度為 1/10³=1/1000 倍，而非 1/10 或 1/100。務必牢記勁度與長度立方成反比。