國營聯招 機械應用力學、材料力學100 年第 41 題單選題
一細長均質桿斜靠在光滑牆面上,與地面夾角為θ,桿與地面間之靜摩擦係數為μ,若想保持靜止平衡,試問μ至少要大於多少才夠?
A$\tan (\theta / 2)$
B$\tan \theta$
C0.5
D$1 / (2\tan \theta)$正確答案
D正確答案
均質細長桿斜靠光滑牆,對地端取矩後求靜摩擦係數下限,答案為 μ ≥ 1/(2tanθ)
為什麼答案是 D
正確推導:設桿長L、質量m。光滑牆僅有水平反力N_w;地面有垂直力N_g=mg、水平摩擦力f。對地端A取矩:N_w·(L sinθ) = mg·(L/2)cosθ,得 N_w = mg cosθ/(2sinθ)。水平平衡:f = N_w = mg/(2tanθ)。垂直平衡:N_g = mg。故 μ = f/N_g = 1/(2tanθ)
考點:半角陷阱考點:邊界條件誤用考點:常數錯誤考點:靜力矩平衡
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 均質細長桿斜靠光滑牆,對地端取矩後求靜摩擦係數下限,答案為 μ ≥ 1/(2tanθ)
光滑牆只有法向力N_w,地面有N_g與f;對牆端取力矩消去N_w,再由水平/垂直平衡解 μ = f/N_g = 1/(2tanθ)
逐選項分析
A半角陷阱✕ 陷阱
tan(θ/2) 是角度二等分的三角函數,與此題靜力學推導無關,容易讓人想到半角公式而選錯
B邊界條件誤用✕
tanθ 是牆面有摩擦時的結果,本題牆面光滑,法向力方向不同,直接代 tanθ 錯誤
C常數錯誤✕
0.5 是固定常數,與角度θ無關,顯然不符合桿角越小越容易滑動的物理直覺
D靜力矩平衡✓ 正確
正確推導:設桿長L、質量m。光滑牆僅有水平反力N_w;地面有垂直力N_g=mg、水平摩擦力f。對地端A取矩:N_w·(L sinθ) = mg·(L/2)cosθ,得 N_w = mg cosθ/(2sinθ)。水平平衡:f = N_w = mg/(2tanθ)。垂直平衡:N_g = mg。故 μ = f/N_g = 1/(2tanθ)
斜桿靜平衡受力彙整
| 位置 | 水平力 | 垂直力 | 說明 |
|---|
| 牆端B(光滑) | N_w(水平向右) | 0 | 光滑牆面無摩擦,僅法向力 |
| 地端A | f = μN_g(水平向右) | N_g = mg(向上) | 地面提供支撐與摩擦 |
| 質心G | 0 | mg(向下) | 均質桿重心在中點 |
「光滑牆面」是解題關鍵字!牆面光滑代表牆端只有水平法向力,摩擦力集中在地面。若誤以為兩端均有摩擦,或直接套梯子公式 tanθ,將得到錯誤結果。θ越小桿越趨水平,所需摩擦係數越大,選項C的常數0.5無法反映此趨勢,可快速排除。