國營聯招 機械應用力學、材料力學100 年第 34 題單選題
考慮平面應力狀況時，則 X 軸方向的應變 $\epsilon_{X}$ 為下列何者？
(註：E為彈性模數， $\sigma_{\mathrm{X}}$ 為X軸應力， $\sigma_{\mathrm{Y}}$ 為Y軸應力， $\nu$ 為蒲松比)
A$(\sigma_{\mathrm{X}} - \nu \sigma_{\mathrm{Y}}) / \mathrm{E}$正確答案
B$(\sigma_{\mathrm{Y}} - \nu \sigma_{\mathrm{X}}) / \mathrm{E}$
C$(\sigma_{\mathrm{X}} + \sigma_{\mathrm{Y}}) / \mathrm{E}$
D$(\sigma_{\mathrm{X}} - \sigma_{\mathrm{Y}}) / \mathrm{E}$
A正確答案
平面應力下X軸應變公式：自身應力減去蒲松比乘垂直應力，再除以彈性模數。
為什麼答案是 A
正確公式。根據廣義虎克定律，平面應力狀態下 X 方向應變由 X 向應力造成的伸長，扣除 Y 向應力透過蒲松比效應造成的橫向收縮組成，即 (σx - νσy)/E。
考點：廣義虎克定律考點：轴向對調陷阱考點：錯誤疊加考點：參數缺漏
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完整詳解
Pro · 無限重點 平面應力下X軸應變公式：自身應力減去蒲松比乘垂直應力，再除以彈性模數。
口訣「自己減鄰居」：分子是 σx - νσy，分母永遠是 E。看到平面應力直接選此形式。
逐選項分析
A廣義虎克定律✓ 正確
正確公式。根據廣義虎克定律，平面應力狀態下 X 方向應變由 X 向應力造成的伸長，扣除 Y 向應力透過蒲松比效應造成的橫向收縮組成，即 (σx - νσy)/E。
B轴向對調陷阱✕ 陷阱
這是 Y 軸方向應變 εy 的公式。考生若未注意題目問的是 X 軸還是 Y 軸，或混淆主應力方向，極易誤選此項。務必確認下標符號對應關係。
C錯誤疊加✕
缺少蒲松比 ν 且符號為相加。這不符合材料力學物理意義，因為垂直方向的應力會造成橫向「收縮」而非疊加伸長，且必須考慮材料特性 ν。
D參數缺漏✕
缺少蒲松比 ν。雖然應力相減的概念正確，但忽略了材料橫向變形係數。不同材料的橫向收縮程度不同，ν 是轉換應力與應變的關鍵參數。
平面應力 vs 平面應變
| 比較項目 | 平面應力 | 平面應變 | 備註 |
|---|
| 定義條件 | σz = τxz = τyz = 0 | εz = γxz = γyz = 0 | 薄板 vs 厚體 |
| X軸應變 εx | (σx - νσy) / E | (1-ν²)(σx - νσy/(1-ν))/E | 本題考點 |
| Z軸狀態 | εz ≠ 0 (有厚度變化) | σz ≠ 0 (有約束應力) | 關鍵差異 |
| 適用案例 | 薄板拉伸、表面應力 | 水壩、隧道、長滾筒 | 幾何決定 |
題目明確指出「平面應力」，但選項 B 是「平面應力下的 Y 軸應變」或容易與「平面應變」公式混淆。解題時務必先圈出「應力」二字，並確認所求軸向為 X，避免直覺反應選錯軸或錯用模型。 
