一直徑為100mm之圓軸，受扭矩10000 N-m作用，試問產生之最大剪應力為多少N/mm²？
A20.3
B50.9正確答案
C100.5
D40.6
答案與詳解
B
正確答案
實心圓軸扭轉公式 τ_max = T·c / J，代入直徑100mm、扭矩10000 N-m，得最大剪應力約50.9 N/mm²。
為什麼答案是 B
正確答案。τ_max = T·c / J = T·(d/2) / (πd⁴/32) = 16T/(πd³) = 16×10⁷/(π×100³) ≈ 50.93 N/mm²。
考點：J值計算錯誤考點：實心圓軸扭轉公式考點：半徑/直徑混淆考點：公式套用錯誤
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完整詳解
Pro · 無限重點 實心圓軸扭轉公式 τ_max = T·c / J，代入直徑100mm、扭矩10000 N-m，得最大剪應力約50.9 N/mm²。
秒殺技巧
τ = 16T / (π·d³)，代入 T=10⁷ N·mm、d=100 mm → τ = 16×10⁷ / (π×10⁶) ≈ 50.93 N/mm²，直選B。逐選項分析
AJ值計算錯誤✕
20.3 N/mm² 約為正確答案的1/2.5，可能誤用了直徑而非半徑，或計算過程中J值算錯導致結果偏小。
B實心圓軸扭轉公式✓ 正確
正確答案。τ_max = T·c / J = T·(d/2) / (πd⁴/32) = 16T/(πd³) = 16×10⁷/(π×100³) ≈ 50.93 N/mm²。
C半徑/直徑混淆✕
100.5 N/mm² 約為正確答案的2倍，可能誤將直徑當作半徑代入，使分母縮小一半導致結果翻倍。
D公式套用錯誤✕ 陷阱
40.6 N/mm² 約為正確答案的0.8倍，容易誤選；可能誤用空心軸公式或對π取值不精確，是本題最常見的誤算陷阱。
實心圓軸扭轉最大剪應力計算步驟
| 步驟 | 公式/數值 | 說明 |
|---|---|---|
| 確認單位統一 | T = 10000 N·m = 10⁷ N·mm | 扭矩換算成 N·mm |
| 取半徑 c | c = d/2 = 50 mm | 直徑100mm，半徑50mm |
| 極慣性矩 J | J = πd⁴/32 = π×100⁴/32 ≈ 9.817×10⁶ mm⁴ | 實心圓截面公式 |
| 最大剪應力 τ | τ = T·c / J = 10⁷×50 / 9.817×10⁶ ≈ 50.93 N/mm² | 或用 16T/(πd³) 速算 |
| 速算公式驗證 | 16×10⁷ / (π×10⁶) = 1.6×10¹/(π) ≈ 50.93 | 兩種方法結果一致 |
陷阱提醒
最常見的錯誤是將直徑(d=100mm)直接當半徑(c)代入公式 τ=Tc/J，導致答案翻倍變成約101；或是在單位換算時忘記將 T 從 N·m 換算為 N·mm（差1000倍），考試時務必先統一單位再帶入計算。