國營聯招 機械應用力學、材料力學100 年第 57 題單選題
一受扭矩T作用之實心圓軸，其直徑d及軸表面之最大正向應變ε（與軸線成45°）已知，請以T、d及ε來表示剪力彈性模數G之公式
A8T/(πdε)正確答案
B16T/(πd³)
C8T/(πd³)
D4T/(πdε)
A正確答案
圓軸受扭時，45°方向正向應變ε與剪應變γ的關係是ε=γ/2，再結合扭轉剪應力公式推導G。
為什麼答案是 A
正確答案。推導：表面最大剪應力τ=16T/(πd³)；純剪狀態下45°方向正向應變ε=γ/2=τ/(2G)，整理得G=τ/(2ε)=16T/(2πd³ε)=8T/(πd³ε)。
考點：G推導完整考點：剪應力公式誤用考點：量綱錯誤考點：係數計算錯誤
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 圓軸受扭時，45°方向正向應變ε與剪應變γ的關係是ε=γ/2，再結合扭轉剪應力公式推導G。
τ=16T/(πd³)，γ=τ/G，ε=γ/2 → G=τ/(2ε)=16T/(πd³)÷(2ε)=8T/(πd³ε)，選A。
逐選項分析
AG推導完整✓ 正確
正確答案。推導：表面最大剪應力τ=16T/(πd³)；純剪狀態下45°方向正向應變ε=γ/2=τ/(2G)，整理得G=τ/(2ε)=16T/(2πd³ε)=8T/(πd³ε)。
B剪應力公式誤用✕ 陷阱
16T/(πd³)是表面最大剪應力τ的公式，而非G的公式，忽略了ε的關係，混淆應力與彈性模數。
C量綱錯誤✕
8T/(πd³)缺少ε，量綱為Pa（應力），不是無因次的彈性模數，數值上也差了係數2，推導過程不完整。
D係數計算錯誤✕
4T/(πd³ε)在分子係數上錯誤，正確係數應為8，來源可能誤用直徑與半徑關係（少乘2）。
圓軸扭轉關鍵公式一覽
| 物理量 | 公式 | 說明 |
|---|
| 表面最大剪應力 τ | τ = 16T / (πd³) | 實心圓軸，d為直徑 |
| 剪應變 γ | γ = τ / G | 虎克定律（剪力） |
| 45°正向應變 ε | ε = γ / 2 = τ / (2G) | 純剪狀態主應變方向 |
| 剪力彈性模數 G | G = 8T / (πd³ε) | 由上三式整理得出 |
最大陷阱在於混淆「正向應變ε」與「剪應變γ」的關係。純剪狀態下，45°方向的最大正向應變ε = γ/2，而非γ，這個係數1/2讓最終答案係數為8而非4或16。選項B直接把剪應力公式當成G，是最常見的混淆錯誤。 
