國營聯招 機械應用力學、材料力學100 年第 53 題單選題
一鋼圓柱S與銅圓柱C,同時置於一試驗機間承受壓力試驗。求因P力作用下,在鋼圓柱中所承受的軸向力量為多少?註:As為鋼的截面積,Ac為銅的截面積,Es為鋼的彈性模數,Ec為銅的彈性模數。
AP/2
BPAs/(As+Ac)
CPEs/(Es+Ec)
DP Es As/(Es As + Ec Ac)正確答案
D正確答案
並聯複合柱受軸向力P,依各材料剛度(EA)比例分配軸力,鋼柱承受 P·EsAs/(EsAs+EcAc)。
為什麼答案是 D
並聯系統變形相容:δs=δc → Fs·L/(EsAs)=Fc·L/(EcAc),平衡條件:Fs+Fc=P,聯立得 Fs=P·EsAs/(EsAs+EcAc),完全正確。
考點:等力分配謬誤考點:截面積比分配謬誤考點:彈性模數比分配謬誤考點:並聯剛度比分配
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完整詳解
Pro · 無限重點 並聯複合柱受軸向力P,依各材料剛度(EA)比例分配軸力,鋼柱承受 P·EsAs/(EsAs+EcAc)。
並聯系統:各柱變形量相同(相容條件),軸力按剛度EA正比分配。鋼柱軸力 = P × (EsAs)/(EsAs+EcAc),選D。
逐選項分析
A等力分配謬誤✕ 陷阱
P/2 是兩構件平均分配,忽略材料與截面差異,只有在Es、Ec、As、Ac全部相等時才成立,一般情況不適用。
B截面積比分配謬誤✕ 陷阱
PAs/(As+Ac) 只考慮截面積比例,忽略彈性模數差異,若兩材料E值不同則不符合相容條件,結果錯誤。
C彈性模數比分配謬誤✕ 陷阱
PEs/(Es+Ec) 只考慮彈性模數比例,忽略截面積差異,構件剛度應為EA而非單獨E,此式量綱也不一致。
D並聯剛度比分配✓ 正確
並聯系統變形相容:δs=δc → Fs·L/(EsAs)=Fc·L/(EcAc),平衡條件:Fs+Fc=P,聯立得 Fs=P·EsAs/(EsAs+EcAc),完全正確。
靜不定並聯複合柱求解步驟
| 步驟 | 條件名稱 | 數學式 |
|---|
| 1 | 平衡方程式 | Fs + Fc = P |
| 2 | 變形相容條件(並聯變形量相同) | δs = δc |
| 3 | 力-變形關係 | δ = F·L/(E·A) |
| 4 | 聯立求解鋼柱軸力 | Fs = P·EsAs/(EsAs+EcAc) |
| 5 | 聯立求解銅柱軸力 | Fc = P·EcAc/(EsAs+EcAc) |
最常見錯誤是只用截面積比(選B)或只用彈性模數比(選C)分配軸力。記住:並聯構件的「剛度」是E×A的乘積,兩者缺一不可。EA代表構件抵抗變形的能力,EA越大,承擔的力越多。