半圓形之形心位置C，與x軸距離為$\bar{y}$，試求$\bar{y}$之值？（註：$\bar{y}=\frac{\int y\,dA}{A}$，A為面積）如圖(2) (A) $\frac{4r}{3\pi}$ (B) $\frac{r}{\pi}$ (C) $\frac{2r}{3\pi}$ (D) $\frac{4r}{9}$

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應用力學、材料力學98 年第 3 題單選題考點：半圓形心標準公式考點：積分分母易錯

半圓形之形心位置C，與x軸距離為 $\overset{y}{ˉ}$ ，試求 $\overset{y}{ˉ}$ 之值？（註： $\overset{y}{ˉ} = \frac{\int y d A}{A}$ ，A為面積）如圖(2)

\frac{4 r}{3 π}

正確答案

\frac{r}{π}

\frac{2 r}{3 π}

\frac{4 r}{9}

答案與詳解

正確答案

半圓形形心距直徑邊（x軸）距離 ȳ = 4r/3π，需透過積分 ∫y dA 除以半圓面積 A = πr²/2 求得。

A$\frac{4r}{3\pi}$半圓形心標準公式✓ 正確

正確答案。半圓形心距x軸（直徑邊）為 ȳ = 4r/3π，由積分推導：∫y dA 使用極座標或薄條積分，結果為 2r³/3，除以面積 πr²/2，得 4r/3π。

B$\frac{r}{\pi}$積分分母易錯✕ 易錯陷阱

r/π 約為 0.318r，是常見錯誤答案。此值無對應幾何意義，可能源於積分過程中面積代入錯誤，需注意分母為3π而非π。

C$\frac{2r}{3\pi}$✕ 易錯陷阱

D$\frac{4r}{9}$✕ 易錯陷阱

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